Сред­няя линия тра­пе­ции равна 5, а мень­шее ос­но­ва­ние равно 2. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ко­си­нус угла между ними.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 132. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через его центр.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по фи­зи­ке всего 20 би­ле­тов, в 6 из них встре­ча­ет­ся во­прос по раз­де­лу «Элек­тро­ста­ти­ка». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по раз­де­лу «Элек­тро­ста­ти­ка».

При по­до­зре­нии на на­ли­чие не­ко­то­ро­го за­бо­ле­ва­ния па­ци­ен­та от­прав­ля­ют на ПЦР-тест. Если за­бо­ле­ва­ние дей­стви­тель­но есть, то тест под­твер­жда­ет его в 99% слу­ча­ев. Если за­бо­ле­ва­ния нет, то тест вы­яв­ля­ет от­сут­ствие за­бо­ле­ва­ния в сред­нем в 89% слу­ча­ев. Из­вест­но, что в сред­нем тест ока­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным у 15% па­ци­ен­тов, на­прав­лен­ных на те­сти­ро­ва­ние.

При об­сле­до­ва­нии не­ко­то­ро­го па­ци­ен­та врач на­пра­вил его на ПЦР-тест, ко­то­рый ока­зал­ся по­ло­жи­тель­ным. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент дей­стви­тель­но имеет это за­бо­ле­ва­ние?

Всего вы­пу­ще­но 10 000 ло­те­рей­ных би­ле­тов. Сумма вы­иг­ры­шей и число вы­иг­рыш­ных би­ле­тов по­ка­за­ны в таб­ли­це.

Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «вы­иг­рыш на один билет», ко­то­рый по­лу­чит один слу­чай­ный по­ку­па­тель ло­те­рей­но­го би­ле­та. Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (–⁠2; 12). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет.

Для сма­ты­ва­ния ка­бе­ля на за­во­де ис­поль­зу­ют лебёдку, ко­то­рая рав­но­уско­рен­но на­ма­ты­ва­ет ка­бель на ка­туш­ку. Угол по­во­ро­та ка­туш­ки, на ко­то­рый на­ма­ты­ва­ет­ся ка­бель, из­ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну где t  — время (в ми­ну­тах) от на­ча­ла ра­бо­ты ле­бед­ки, ω  =  30°/мин  — на­чаль­ная уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния ка­туш­ки, а β  =  3°/мин²  — уг­ло­вое уско­ре­ние, с ко­то­рым на­ма­ты­ва­ет­ся ка­бель. Ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить ход его на­мот­ки не позже того мо­мен­та, когда угол на­мот­ки φ до­стиг­нет 1200°. Опре­де­ли­те время после на­ча­ла ра­бо­ты ле­бед­ки, не позже ко­то­ро­го ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить её ра­бо­ту. Ответ дайте в ми­ну­тах.

Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 50 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что в час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 25 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт В на 2 часа 5 минут позже ав­то­мо­би­ли­ста. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

В июле 2030 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за три года) и общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет на 40 980 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. На реб­рах A₁B₁, B₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M, K и N со­от­вет­ствен­но, при­чем B₁K : KC₁  =  2 : 3. Че­ты­рех­уголь­ник AMKN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 4 и 5.

а)  До­ка­жи­те, что точка N  — се­ре­ди­на ребра BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMKN, если объем приз­мы равен 45, а ее вы­со­та равна 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ис­точ­ник по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния имеет элек­тро­дви­жу­щую силу и внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние r  =  2 Ом. Сила тока в цепи при под­клю­че­нии к этому ис­точ­ни­ку на­груз­ки опре­де­ля­ет­ся за­ко­ном Ома: где R  — со­про­тив­ле­ние на­груз­ки (в омах).

Теп­ло­вая мощ­ность в ват­тах, вы­де­ля­е­мая на на­груз­ке, равна P  =  I²R (закон Джо­у­ля  — Ленца). При каком со­про­тив­ле­нии на­груз­ки R вы­де­ля­е­мая на ис­точ­ни­ке теп­ло­вая мощ­ность P наи­боль­шая?

Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся сто­рон угла с вер­ши­ной N в точ­ках A и B. От­ре­зок BC  — диа­метр этой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC па­рал­лель­на бис­сек­три­се угла ANB.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка NO, если из­вест­но, что AC  =  12 и AB  =  16.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Есть 14 монет по 2 рубля и 27 монет по 5 руб­лей.

а)  Можно ли этими мо­не­та­ми на­брать сумму 161 рубль?

б)  Можно ли этими мо­не­та­ми на­брать сумму 162 рубля?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет, каж­дая по 1 рублю, нужно до­ба­вить, чтобы иметь воз­мож­ность на­брать любую целую сумму от 1 рубля до 170 руб­лей вклю­чи­тель­но?