PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Средняя линия трапеции равна 5, а меньшее основание равно 2. Найдите большее основание трапеции.
Даны векторы 
и 
Найдите косинус угла между ними.
Площадь поверхности шара равна 132. Найдите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр.
В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по разделу «Электростатика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Электростатика».
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 89% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 15% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Всего выпущено 10 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.
| Выигрыш | 100 р. | 500 р. | 1000 р. | 50 тыс. р. | 100 тыс. р. |
|---|---|---|---|---|---|
| Число выигрышных билетов | 100 | 50 | 10 | 2 | 1 |
Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале (–2; 12). Определите количество целых точек, в которых функция 
возрастает.
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывается кабель, изменяется со временем по закону 
где t — время (в минутах) от начала работы лебедки, ω = 30°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 3°/мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 1200°. Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 5 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
а) Решите уравнение 
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На ребрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B1K : KC1 = 2 : 3. Четырехугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 45, а ее высота равна 3.
Решите неравенство 
Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу 
и внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома: 
где R — сопротивление нагрузки (в омах).
Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна P = I2R (закон Джоуля — Ленца). При каком сопротивлении нагрузки R выделяемая на источнике тепловая мощность P наибольшая?
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 12 и AB = 16.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Есть 14 монет по 2 рубля и 27 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 161 рубль?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 162 рубля?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 170 рублей включительно?
откуда 
где R — радиус шара, а площадь поверхности шара 
—
—
Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 89% случаев, а потому вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна 
Следовательно, вероятность того, что тест окажется положительным, равна
где 
и 
В этих промежутках лежат целые 
при заданных значениях параметров ω и β:
и 
Найдём коэффициенты a, b и c, решив систему:
в январе 2031 года — 
в феврале 2031 года — 
в январе 2032 года — 
в феврале 2032 года — 
В феврале 2032 года кредит будет полностью погашен, поэтому 
откуда 
Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит, тогда получаем:
Следовательно, 
откуда находим:
По теореме Пифагора получаем:
и 
Проекция катета на гипотенузу равна отношению квадрата длины этого катета к длине гипотенузе, поэтому 
откуда
а потому
уравнение имеет два отрицательных корня: 
и 
и два положительных: 
и 
При 
корни попарно совпадают, и уравнение имеет два решения: 
Этот случай подходит.
уравнение имеет два решения: 
Этот случай подходит.
уравнение имеет корни 
которые совпадают при 
рубля.
монет.
Если же нужно представить сумму S от 130 до 170 рублей, то выберем монеты общей суммой