Ре­ше­ние. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Най­дем его бо­ко­вую сто­ро­ну:

от­ку­да Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (Р. А., СПб.).

Хорды AD, DC и CB равны, по­это­му равны и стя­ги­ва­е­мые ими дуги. Впи­сан­ный угол А равен 60°, он опи­ра­ет­ся на две из этих дуг и равен по­ло­ви­не их суммы. По­это­му каж­дая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен 6.

При­ве­дем ре­ше­ние Анны Божко.

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, угол ACB опи­ра­ет­ся на диа­метр, тогда AB  — диа­метр окруж­но­сти, и

Ре­ше­ние. Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Сумма ко­ор­ди­нат век­то­ра равна

Ответ: − 21.

Ре­ше­ние. Диа­метр шара, опи­сан­но­го во­круг куба, сов­па­да­ет с его диа­го­на­лью и вдвое боль­ше ра­ди­у­са, по­это­му диа­го­наль куба равна  Если ребро куба равно a, то диа­го­наль куба да­ет­ся фор­му­лой Сле­до­ва­тель­но, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по Ве­ли­кой Оте­че­ствен­ной войне, равна

Ответ: 0,26.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что не­ис­прав­ны оба ав­то­ма­та. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,05 · 0,05  =  0,0025. Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,0025  =  0,9975.

Ответ: 0,9975.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат (со­бы­тие А) равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен вто­рой ав­то­мат (со­бы­тие В) равна 0,95. Это сов­мест­ные не­за­ви­си­мые со­бы­тия. Ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, а ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Имеем:

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат яв­ля­ет­ся сум­мой трех не­сов­мест­ных со­бы­тий, каж­дое из ко­то­рых яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем двух не­за­ви­си­мых со­бы­тий:

     А  =  ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат, при этом не­ис­пра­вен вто­рой;

     B  =  ис­пра­вен вто­рой ав­то­мат, при этом не­ис­пра­вен пер­вый;

     С  =  ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат, при этом вто­рой тоже ис­пра­вен.

По­это­му для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −42.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точ­ках экс­тре­му­мов: −2; −1; 1; 4 и 6. Про­из­вод­ная равна нулю в 5 точ­ках.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ний и при за­дан­ном зна­че­нии R:

Сле­до­ва­тель­но, чтобы ви­деть го­ри­зонт на более да­ле­ком рас­сто­я­нии, на­блю­да­те­лю нужно под­нять­ся на метра. Для этого ему не­об­хо­ди­мо под­нять­ся на сту­пе­нек.

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние.

Ино­гда в фи­зи­ке или тех­ни­ке ис­поль­зу­ют фор­му­лы, в ко­то­рых ве­ли­чи­ны имеют раз­ные еди­ни­цы из­ме­ре­ния. На­при­мер, удоб­но вы­ве­сти такую фор­му­лу, чтобы при ее ис­поль­зо­ва­нии ра­ди­ус пла­не­ты не при­хо­ди­лось вы­ра­жать в мет­рах, а рост че­ло­ве­ка не надо было вы­чис­лять в долях ки­ло­мет­ра. Осо­бен­но часто такой под­ход при­ме­ня­ет­ся в ин­же­нер­ных расчётах. В дан­ной за­да­че ве­ли­чи­ны R и l вы­ра­же­ны в ки­ло­мет­рах, а h  — в мет­рах, о чем ска­за­но в усло­вии. Если бы все ве­ли­чи­ны в этой фор­му­ле из­ме­ря­лись в одних и тех же еди­ни­цах из­ме­ре­ния, она вы­гля­де­ла бы так: Ко­эф­фи­ци­ент 500 от­ра­жа­ет то, что все ве­ли­чи­ны, за ис­клю­че­ни­ем h, вы­ра­же­ны в ки­ло­мет­рах. Про­верь­те это.

Ре­ше­ние. Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — а кон­цен­тра­ция вто­ро­го  — Если сме­шать эти рас­тво­ры кис­ло­ты, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты: Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты: Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

По­это­му

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку тогда

Далее, по гра­фи­ку тогда

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

От­сю­да имеем:

По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке −2, и оно равно 3.

Ответ: 3.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке В нашем слу­чае наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в точке −2 и равно 9. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ет и опре­де­ле­на в точке 9, для ис­ход­ной функ­ции имеем:

Ре­ше­ние. а)  В силу не­чет­но­сти и пе­ри­о­дич­но­сти си­ну­са имеем:

Далее имеем:

б)  При по­мо­щи чис­ло­вой пря­мой или три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.) для каж­дой из за­да­ю­щих ре­ше­ния серий от­бе­рем корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На­хо­дим три ре­ше­ния:

Ответ:

а)  

б)  

Ре­ше­ние. а)  Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем  — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б)  Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок CO  — бис­сек­три­са угла ACB и пусть имеем:

Тогда Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем: Таким об­ра­зом, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно или 8 : 3.

Ответ: 8 : 3.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

За­ме­тим, что на ОДЗ знак раз­но­сти сов­па­да­ет со зна­ком дроби По­это­му, сде­лав за­ме­ну пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть акции про­да­ны в конце года t за t² тыс. руб., и по­лу­чен­ная сумма по­ло­же­на в банк на остав­ши­е­ся 20 − t лет под 25% го­до­вых. Тогда цена акций на конец срока со­ста­вит тыс. руб. Найдём наи­боль­шее зна­че­ние по­лу­чен­ной функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных t, не пре­вос­хо­дя­щих 20. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке и ме­ня­ет в ней знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, это точка мак­си­му­ма. За­ме­тим, что

Из по­лу­чен­ной оцен­ки сле­ду­ет, что точка мак­си­му­ма лежит на ин­тер­ва­ле (8; 10). Срав­ним зна­че­ния функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10. По­сколь­ку

наи­боль­шее зна­че­ни­ем функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных ар­гу­мен­тов до­сти­га­ет­ся в точке 9. Про­да­вать акции не­об­хо­ди­мо в конце де­вя­то­го года.

Ответ: в конце де­вя­то­го года.

При­ме­ча­ние.

Без срав­не­ния зна­че­ний функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10 не обой­тись. На­при­мер, если точка мак­си­му­ма до­ста­точ­но близ­ка к точке 8, зна­че­ние в точке 8 может ока­зать­ся боль­ше, чем зна­че­ние в точке 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­кла­ды­вать день­ги в банк имеет смысл, когда доход в 25% го­до­вых, то есть еже­год­ное уве­ли­че­ние суммы в 1,25 раза, будет пре­вос­хо­дить еже­год­ный квад­ра­тич­ный рост цен. Про­сле­дим за до­ход­но­стью:

Ко­эф­фи­ци­ент до­ход­но­сти k за 9-й год боль­ше 1,25, а за 10-й год мень­ше 1,25. По­ка­жем, что в сле­ду­ю­щие годы он будет далее умень­шать­ся. Дей­стви­тель­но, в силу тож­деств

по­лу­ча­ем, что ко­эф­фи­ци­ент k мо­но­тон­но убы­ва­ет с уве­ли­че­ни­ем t.

Те­перь можно сде­лать вывод о том, что в конце де­вя­то­го года це­ле­со­об­раз­но пе­ре­ло­жить день­ги в банк.

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — от­лич­ная от A₁ точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁ и A₁BC₁ (рис. 1).

Тогда

от­ку­да

Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, точки A, B₁, O и C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Пусть O₁, O₂ и O₃  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков B₁AC₁, A₁BC₁ и A₁CB₁ со­от­вет­ствен­но (рис. 2). За­ме­тим, что как ра­ди­у­сы опи­сан­ных окруж­но­стей около рав­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AO₁C₁ и C₁O₂B равны. Кроме того, тре­уголь­ник O₂C₁O₁ также равен этим тре­уголь­ни­кам, по­сколь­ку

Таким об­ра­зом, Ана­ло­гич­но по­это­му тре­уголь­ник O₁O₂O₃ по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том и ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти равен по­ло­ви­не ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, а ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен r (рис. 3). Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC

C дру­гой сто­ро­ны, вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна по­это­му Зна­чит, r  =  3. Ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти хОу мно­же­ство точек удо­вле­тво­ря­ю­щих лю­бо­му из урав­не­ний си­сте­мы  — пря­мые. Тогда ре­ше­ни­ем си­сте­мы будут точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых. По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма будет иметь бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний в том и толь­ко в том слу­чае, когда эти пря­мые сов­па­да­ют. За­ме­тим при этом, что вне за­ви­си­мо­сти от зна­че­ний па­ра­мет­ров пер­вое урав­не­ние си­сте­мы задаёт не го­ри­зон­таль­ную пря­мую (ко­эф­фи­ци­ент перед x не равен нулю), а вто­рое  — не вер­ти­каль­ную (ко­эф­фи­ци­ент перед y не равен нулю), зна­чит, оба урав­не­ния в си­сте­ме можно при­ве­сти к виду В общем слу­чае две пря­мые, за­дан­ные урав­не­ни­я­ми и сов­па­да­ют, если, и (при они имеют одну точку пе­ре­се­че­ния, при и точек пе­ре­се­че­ния у них нет). Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма будет иметь бес­ко­неч­но много ре­ше­ний в том слу­чае, когда сов­мест­на си­сте­ма

где и

Решая си­сте­му, по­лу­ча­ем или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­смот­рим на сумму не­сколь­ких зелёных чисел. По­сколь­ку сумма будет ми­ни­маль­ной тогда, когда числа ми­ни­маль­ны, они долж­ны со­став­лять ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, с пер­вым чле­ном и раз­но­стью (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В слу­чае, если на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел их сумма равна:

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 40 на крас­ное число 35. Сумма 29 остав­ших­ся зелёных чисел и крас­но­го числа 35 будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа.

б)  Как было по­ка­за­но в в пунк­те а) ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 30 зе­ле­ных чисел  — 2325. Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из суммы 30 чисел самое боль­шое из на­пи­сан­ных  — 150:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим наи­мень­шее крас­ное число, то есть 7:

Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467. Зна­чит, если на доске на­пи­са­но толь­ко одно крас­ное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в)  Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Как было по­ка­за­но выше, при одном, самом ма­лень­ком, крас­ном числе сумма всех чисел боль­ше, чем 1467. Это озна­ча­ет, что нам не­об­хо­ди­мо за­ме­нять зе­ле­ные числа на крас­ные, при­чем, по­сколь­ку нам надо, чтобы крас­ных чисел было ми­ни­маль­ное число, то не­об­хо­ди­мо за­ме­нить ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство зе­ле­ных чисел, то есть наи­боль­шие зе­ле­ные числа за­ме­нять на наи­мень­шие крас­ные. Тогда суммы крас­ных и зелёных чисел, ана­ло­гич­но с преды­ду­щи­ми пунк­та­ми будут сум­ма­ми ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий:

Сумма всех чисел S долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1467, тогда:

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 10 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким об­ра­зом, сумма чисел, за­пи­сан­ных на доске, со­ста­вит:

За­ме­ним те­перь 80 на 77:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ет­ся, что наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10.