PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Сторона AB треугольника ABC c тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите
Решение. По теореме синусов:
Поскольку угол C тупой, а его синус равен 
это угол 150°.
Ответ: 150.
Приведём другое решение.
Пусть точка О — центр окружности, тогда ОА и ОВ — ее радиусы. Треугольник АОВ равносторонний, поэтому
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен
Найдите скалярное произведение 
Решение. Пусть угол между катетом AC и гипотенузой AB равен α, тогда 
По определению скалярного произведения получаем:
Ответ: 3.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABC равен 33.
Решение. Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы относятся как площади их оснований. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF в 
Ответ: 198.
Примечание.
Докажем, что площадь правильного шестиугольника ABCDEF в
Теперь найдем площадь всего шестиугольника. Он состоит из шести равных равносторонних треугольников ОAB, ОBС, ..., ОFA, где точка О — центр правильного шестиугольника. Стороны этих треугольников 
Следовательно, площадь шестиугольника вшестеро больше площади треугольника ABC.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1.
Решение. На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:
Ответ: 0,25.
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Решение. Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число, равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа, равна 0,5 · 0,5 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение. Область определения уравнения задается соотношением 
На области определения имеем:
Оба найденных решения удовлетворяют условию 
меньший из них равен −0,5.
Ответ: −0,5.
Найдите значение выражения 
если 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 64.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Решение. На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −7.
Ответ: −7.
При нормальном падении света с длиной волны 
нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол 
(отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением 
Под каким минимальным углом 
(в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?
Решение. Задача сводится к решению неравенства 
нм на интервале 
при заданных значениях длины волны света 
нм и номера максимума 
:
Значит, минимальный угол равняется 30°.
Ответ: 30.
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение. Наименьшее общее кратное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут первый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен дважды) заполнят 14 + 9 + 7 = 30 бассейнов. Следовательно, работая одновременно, первый, второй и третий насосы заполняют 15 бассейнов за 126 минут, а значит, 1 бассейн за 8,4 минуты.
Ответ: 8,4.
Приведём другое решение.
За одну минуту первый и второй насосы заполнят 1/9 бассейна, второй и третий — 1/14 бассейна, а первый и третий — 1/18 бассейна. Работая вместе, за одну минуту два первых, два вторых и два третьих насоса заполнят
бассейна.
Тем самым, они могли бы заполнить бассейн за 21/5 минуты или за 4,2 минуты. Поскольку каждый из насосов был учтен два раза, в реальности первый, второй и третий насосы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 8,4 минуты.
Приведем алгебраическое решение Тимура Алиева.
Пусть x — производительность первого насоса, y — производительность второго насоса, z — производительность третьего насоса. Тогда
Сложив уравнения, получим 
Тогда при совместной работе всех трех насосов время заполнения бассейна составит 
минуты.
На рисунке изображён график функции
Найдите k.
Решение. Преобразуем данную функцию:
График функции имеет горизонтальную асимптоту y = 1, значит, k = 1.
Ответ: 1.
Найдите точку максимума функции 
Решение. Поскольку функция 
возрастающая, заданная функция достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума выражение 
Квадратный трехчлен 
с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке 
Ответ: 3.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что 
Преобразуем уравнение:
б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа 
Ответ: а) 
где 
б)
Примечание.
Ответ в пункте а) можно записать и в другой форме. Например, 
где 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
где б) где б) Дана пирамида SABC, в которой 
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите расстояние между ребрами
Решение. а) Заметим, что треугольники SBC и АВС равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Таким образом, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA.
б) Построим высоту NМ треугольника ASN. Заметим, что NМ является общим перпендикуляром прямых AS (по построению) и ВС, поскольку NМ лежит в плоскости ASN. Тогда длина NМ и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми
Заметим, что 
Тогда треугольник SNA равнобедренный, его высота NМ является также медианой, тогда из прямоугольного треугольника АМN находим:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство: 
Решение. Сделав замену 
получаем:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
Решение. Пусть у Степана было 
раз,
раз.
Степан положил в первый и второй банк 60% и 40% своего капитала, по прошествии одного года на счетах в банках было 
тыс. руб. соответственно. Если бы Степан первоначально положил 40% капитала в первый банк, а 60% капитала во второй банк, то через год на счетах было бы 
тыс. руб.
Решая систему уравнений
относительно xm и xn находим: 
К концу второго года сумма вкладов достигла величины
По условию, она равна
Тогда 
а искомая величина суммы вклада к концу второго года при вложении 40% капитала в первый банк и 60% во второй равна
тыс. руб.
Ответ: 749 000 руб.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.
Решение. а) По условию четырёхугольник PBCQ — вписанный. Значит,
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда 
как односторонние углы при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, 
Для смежных углов справедливо равенство 
а потому 
В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.
б) Пусть 
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. В пункте а) было показано, что 
это означает, что 
и, следовательно, точки A, D, P и Q также лежат на одной окружности.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, 
и 
Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, 
поскольку по условию отрезки DP и PC перпендикулярны.
В прямоугольном треугольнике AQB точка M — середина гипотенузы. Следовательно,
С другой стороны, средняя линия трапеции
Значит, треугольник NMQ — равнобедренный и в нём 
Осталось найти косинус угла CDA. Для этого на отрезке AD отметим точку E такую, что 
Тогда 
Для треугольника CDE запишем теорему косинусов:
откуда выразим косинус угла CDE:
Итак,
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Заметим, что раз треугольник PDC — прямоугольный, то
где прямая MN — средняя линия трапеции ABCD. Зная боковые стороны и основания трапеции, нетрудно найти ее высоту из треугольника CED со сторонами 21, 20 и 13: 
Отсюда найдем
Теперь, так как 
по теореме синусов для треугольника MPN можем найти радиус окружности, описанной около четырехугольника MPQN:
Так как 
найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:
Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, следовательно:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше −4?
Решение. Заметим, что наименьшее значение функции больше −4, если все значения функции больше −4. Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наименьшего значения. Тогда задачу можно переформулировать так: требуется найти все значения a, при каждом из которых неравенство
Запишем неравенство в виде
и построим графики левой и правой частей неравенства 
и 
График функции 
— парабола с отраженной отрицательной частью, перемещающаяся по оси абсцисс, с корнями 
и 
График функции 
— изображённая на рисунке ломаная (выделена синим цветом).
Для выполнения неравенства (*) необходимо, чтобы все точки графика 
располагались выше графика 
Граничные способы подходящего расположения подвижного графика изображены на рисунке зелёным и красным цветом. Определим значения параметра для этих границ.
Левую границу найдём из условия касания прямой, задаваемой уравнением 
и параболы, задаваемой уравнением 
Они имеют единственную общую точку, а значит, уравнение 
имеет единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант полученного уравнения:
Он обращается в нуль при 
Правая граница достигается, если больший корень функции равен 4: 
откуда 
Таким образом, неравенство (*) выполняется при всех значениях x, если 
Ответ:
Примечание.
По просьбе Сергея Волкова покажем, как определить, не пользуясь рисунком, какое условие надо рассматривать для определения границы расположения подвижного графика: условие касания параболы и прямой или условие прохождения прямой через корень параболы.
Парабола задается уравнением Заметим, что 
причем 
и производная возрастает на всей числовой оси. Для касания параболы и прямой необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной. Следовательно, если угловой коэффициент прямой меньше −2, то для определения граничного условия надо рассматривать касание прямой и левой ветви параболы. Если угловой коэффициент прямой больше 2, то необходимо рассматривать касание прямой и правой ветви параболы. Если же угловой коэффициент прямой находится в пределах от −2 до 2, то касание прямой и параболы будет в точке, расположенной на отрицательной части параболы, но эта часть симметрично отображена относительно оси абсцисс, следовательно, необходимо рассматривать условие прохождения прямой через корень параболы.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что 
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что 
в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом которых значение выражения 
будет наименьшим.
Решение. а) Поскольку 
длина которого равна 
Следовательно, расстояние от до какого-то из концов отрезка не больше половины его длины. Поэтому числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 соответственно. Таким образом, искомые числа существуют.
б) Докажем, что таких m и n не существует. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют двузначные числа m и n, для которых выполняется неравенство 
Тогда
По условию 
поэтому из последнего неравенства получаем
откуда 
Следовательно, 
Противоречие.
в) С увеличением n значение выражения 
уменьшается. Поскольку при 
значение выражения 
—
равно расстоянию от 
или 
При получаем:
а при получаем
Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение выражение принимает при 
Ответ: а) да; б) нет; в) 24.
Примечание к пункту а).
Выше было получено, что удовлетворяющие условию числа существуют. Искать их не требовалось, но можно и найти. Для этого заметим, что лежит правее точки 1,41 — середины отрезка 
Поэтому 
Следовательно, примером являются числа 71 и 50.
Приведем другое решение пункта а).
Заметим, что неравенство 
равносильно двойному неравенству
При этом
а значит, из неравенства
следует, что 
Пусть, например, 
тогда 
Следовательно, двузначные числа 
и 
удовлетворяют исходному неравенству.
Приведем решение Евгения Обухова (Москва).
а) Требуется найти хорошее приближение 
Знаменатель и числитель дроби являются двузначными числами, если
Такого приближения хватит ввиду следствия из теоремы Дирихле о приближениях (подходящие дроби «хорошо приближают»: 
б) Предположим, что такие m и n существуют. Тогда с помощью формулы разности квадратов преобразуем данное в условии неравенство в привычный нам вид:
то есть дробь 
обязана быть очень близкой 
Здесь было учтено, что 
Последнее неравенство означает, что дробь —
следует, что несократимая дробь 
является подходящей дробью числа α. Подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, поэтому в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:
Осталось убедиться, что неравенство 
не выполняется, что приводит к противоречию. 
хватит, поскольку
Разделив в столбик, получим:
то есть довольно значимое различие на пятом знаке после запятой: 
Из неравенства треугольника:
что и требовалось для получения противоречия.
в) Требуется минимизировать выражение 
Вновь рассмотрим разложение приближаемого числа в цепную дробь:
Заметим, что уже одна из первых дробей нам подходит:
Имеем 
это как раз нужный нам числитель. Заметим, что
то есть 
и 
— дальше. В частности, это можно проверить непосредственно: 
и поскольку 
то дробь выпадет из окрестности 
в которой дробь 
в свою очередь, находится. Аналогично с дробью 
соответствующая разность 
ещё больше.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |