СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511247

Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем ∠CMA = ∠DMB.

а) Докажите, что ∠OCM = ∠ODM.

б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

Решение.

а) Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P (см. рис.) Соединим центр окружности — точку О, с точками P и С — отрезками. ∠DMB = ∠OMP как вертикальные, ∠DMB = ∠CMO по условию, следовательно, ∠OMP = ∠OMC.

Любая окружность симметрична сама себе относительно всякой прямой, проходящей через ее центр.

Рассмотрим симметрию относительно диаметра AB. При этом:

– точки А, О, M и В, отрезок OM перейдут сами на себя;

– поскольку ∠OMP = ∠M, луч МС MP перейдет на луч MP;

– полуокружность ACB перейдет на полуокружность APB, общая точка луча МС и полуокружности ACB перейдет в общую точку луча MP и полуокружности APB, т. е. точка С перейдет в точку P;

– отрезок ОС перейдет на отрезок OP, ∠OCM — на ∠ OPM. Следовательно, ∠ OCM = ∠OPM.

Но Δ POD — равнобедренный, поскольку OP = OD как радиусы одной и той же окружности. Значит, ∠OPM = ∠ODM. Отсюда: ∠OCM = ∠ODM, что и требовалось доказать.

б) Найдём угол CMD:

В Δ OMD: ∠OMD = 135°, по теореме косинусов:

 

Найдем положительный корень этого уравнения.

В Δ COM по теореме косинусов:

 

Положительный корень этого уравнения будет равен

 

Приведём другое решение:

а) Продолжим DM до пересечения с окружностью в точке N (см. рис.). Соединим центр окружности — точку О с точкой С — отрезком. Опустим из точки О перпендикуляры к отрезкам СМ и DN, основания перпендикуляров обозначим H и T соответственно. Обозначим некоторые углы, ∠1, ∠2 и ∠3, как показано на рисунке.

∠2 = ∠3 как вертикальные, ∠2 = ∠1 по условию, следовательно, ∠1 = ∠3. Прямоугольные треугольники MHO и MTO равны по общей гипотенузе ОМ и острому углу (∠1 = ∠3), откуда OH = OT.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OHC и OTD. Они равны по гипотенузе и катету, поскольку OH = OT по только что доказанному, OC = OD как радиусы одной и той же окружности. Отсюда: ∠OCM = ∠ODM, что и требовалось доказать.

б) По условию и доказанному выше: ∠2 = ∠1 = ∠3 = 45°. Следовательно, ∠MD = 180° − (45° + 45°) = 90°. ∠HOM = 90° − 45° = 45°. Значит, OH = MH. Аналогично OT = MT. Из совокупности полученных результатов имеем: OHMT — квадрат.

В Δ SMD, где ∠SMD = 90°,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности