Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 511248

Города А и В расположены на берегу реки, причем город В лежит ниже по течению. В 6 часов утра из А в В отправился плот. В тот же момент из В в А отправилась лодка, которая встретилась с плотом в 11 часов утра. Доплыв до города А, лодка сразу же повернула обратно и приплыла в город В одновременно с плотом. Успели ли лодка и плот прибыть в город В к 6 ч вечера того же дня?

Спрятать решение

Решение.

Пусть собственная скорость лодки x км/ч, скорость течения реки (она же равна скорости плота) υ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (x + υ) км/ч, против течения — (x − υ) км/ч.

С 6 часов до 11 часов утра, т. е. в течение 5 ч, плот и лодка находились во встречном движении со скоростью сближения υ + x − v = x (км/ч). Значит, расстояние от А до В равно 5x км.

За эти же 5 ч времени плот продвинулся в направлении к городу В на 5υ км, ему осталось пройти путь до В 5x − 5υ = 5(x − υ) км. И этот путь плот преодолеет за  дробь: числитель: 5 левая круглая скобка x минус v правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби ч.

После 11 часов утра лодка до города А плыла  дробь: числитель: 5 v , знаменатель: x минус v конец дроби ч и от города А до города В плыла  дробь: числитель: 5x, знаменатель: x плюс v конец дроби ч, всего

 дробь: числитель: 5 v , знаменатель: x минус v конец дроби плюс дробь: числитель: 5x, знаменатель: x плюс v конец дроби = дробь: числитель: 5 левая круглая скобка x v плюс v в квадрате плюс x в квадрате минус x v правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс v правая круглая скобка левая круглая скобка x минус v правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс v в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс v правая круглая скобка левая круглая скобка x минус v правая круглая скобка конец дроби .

Поскольку плот и лодка в город В прибыли одновременно,

 дробь: числитель: 5 левая круглая скобка x минус v правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс v в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс v правая круглая скобка левая круглая скобка x минус v правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: x минус v , знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате плюс v в квадрате , знаменатель: x в квадрате минус v в квадрате конец дроби равносильно x в кубе минус x v в квадрате минус x в квадрате v плюс v в кубе =x в квадрате v плюс v в кубе равносильно

 равносильно x в кубе минус x v в квадрате минус x в квадрате v =x в квадрате v равносильно x в кубе минус 2x в квадрате v минус x v в квадрате =0 равносильно v в квадрате плюс 2x v минус x в квадрате =0 равносильно

 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: v , знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: v , знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус 1=0 равносильно дробь: числитель: v , знаменатель: x конец дроби = минус 1\pm корень из 1 плюс 1.

Положительное значение этого отношения есть  корень из 2 минус 1, т.е  v = левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка x.

Найдем, сколько часов от города А до города В плот был в движении.

Если это время обозначить t, то t= дробь: числитель: 5x, знаменатель: левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка x конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: корень из 2 минус 1 конец дроби =5 корень из 2 плюс 5 (ч.)

Но с 6 утра до 6 вечера пройдет 12 ч. Покажем, что 5 корень из 2 плюс 5 больше 12. Действительно,

5 корень из 2 плюс 5 больше 12 равносильно 5 корень из 2 больше 7 равносильно 50 больше 49

(неравенство очевидное).

 

Ответ: нет, не успели.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Разные задачи с прикладным содержанием