Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его по­лу­пе­ри­мет­ра p на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти r:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. На­хо­дим: Ко­ор­ди­на­ты суммы век­то­ров равны сумме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат, по­это­му Сумма ко­ор­ди­нат век­то­ра равна 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой нужно найти, яв­ля­ет­ся по­ло­ви­на бо­ко­вой грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­той пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да По­это­му объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Ча­сто­та (от­но­си­тель­ная ча­сто­та) со­бы­тия «га­ран­тий­ный ре­монт» равна  Она от­ли­ча­ет­ся от пред­ска­зан­ной ве­ро­ят­но­сти на 0,006.

Ответ: 0,006.

При­ме­ча­ние.

В учеб­ни­ках под сло­вом «ча­сто­та» по­ни­ма­ет­ся как от­но­си­тель­ная, так и аб­со­лют­ная ча­сто­та (чаще  — от­но­си­тель­ная). Мы уже со­об­щи­ли раз­ра­бот­чи­кам ЕГЭ, что усло­вие не­об­хо­ди­мо уточ­нить.

Ре­ше­ние. Сна­ча­ла найдём ве­ро­ят­ность того, что при двух брос­ках иг­раль­ных ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­дет ни разу. За­ме­тим, что ве­ро­ят­ность вы­бро­сить ком­би­на­цию 5 и 6 очков скла­ды­ва­ет­ся из двух не­сов­мест­ных со­бы­тий: на пер­вом ку­би­ке вы­па­ло 5 очков, а на вто­ром ку­би­ке вы­па­ло 6 очков или на пер­вом ку­би­ке вы­па­ло 6 очков, а на вто­ром ку­би­ке вы­па­ло 5 очков. Тогда ве­ро­ят­ность того, что при брос­ке двух иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет ком­би­на­ция 5 и 6 очков, равна

Ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что при одном брос­ке ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­дет, равна

Каж­дое бро­са­ние ко­стей не за­ви­сит от преды­ду­ще­го. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что при двух брос­ках иг­раль­ных ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­дет ни разу, равна  Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что при двух бро­са­ни­ях иг­раль­ных ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков вы­па­дет хотя бы один раз, равна

Округ­ляя до сотых, по­лу­чим 0,11.

Ответ: 0,11.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, что при пер­вом бро­са­нии вы­па­ла ком­би­на­ция 5 и 6 очков, а со­бы­тие B со­сто­ит в том, что при вто­ром бро­са­нии вы­па­ла ком­би­на­ция 5 и 6 очков: Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ком­би­на­ция 5 и 6 очков вы­па­дет хотя бы один раз из двух по­пы­ток, яв­ля­ет­ся сум­мой этих со­бы­тий. Со­бы­тия A и B яв­ля­ют­ся сов­мест­ны­ми и не­за­ви­си­мы­ми, ве­ро­ят­ность их суммы вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Округ­ляя до сотых, по­лу­чим 0,11.

При­ве­дем ре­ше­ние На­деж­ды Коз­ло­вой.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, что при пер­вом бро­са­нии вы­па­ла ком­би­на­ция 5 и 6 очков, а со­бы­тие C со­сто­ит в том, что при пер­вом бро­са­нии ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­ла, а при вто­ром бро­са­нии вы­па­ла. Тогда

Эти со­бы­тия яв­ля­ют­ся не­сов­мест­ны­ми, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме их ве­ро­ят­но­стей:

Округ­ляя до сотых, по­лу­чим 0,11.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним чи­та­те­лям, что ком­пли­мент  — это при­ят­ные слова в чей-то адрес, а ком­пле­мент это  — до­пол­не­ние, до­бав­ле­ние к чему-либо. По усло­вию за­да­чи при удач­ном ис­хо­де игры по­се­ти­тель ре­сто­ра­на по­лу­ча­ет бес­плат­ное до­пол­не­ние к сво­е­му за­ка­зу  — ком­пле­мент от ре­сто­ра­на.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть тогда Упро­стим:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние не за­ви­сит от а, по­это­му ис­ход­ное вы­ра­же­ние равно 5.

Ре­ше­ние. Две из от­ме­чен­ных точек яв­ля­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма функ­ции f(x). Это точки x₃ и x₆ (вы­де­ле­ны крас­ным). В них про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна нулю.

В точ­ках x₁, x₂, x₇ и x₈ функ­ция f(x) воз­рас­та­ет (вы­де­ле­ны синим). В этих четырёх точ­ках про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на.

В точ­ках x₄, x₅ и x₉ функ­ция f(x) убы­ва­ет (вы­де­ле­ны зе­ле­ным). В этих трёх точ­ках про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях пло­ща­ди кон­ту­ра и по­сто­ян­ной

Ис­ко­мый наи­мень­ший угол равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть u км/ч  — ско­рость те­че­ния реки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На об­рат­ный путь лодка за­тра­ти­ла на 6 часов мень­ше, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/⁠ч.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при ре­ше­нии квад­рат­но­го урав­не­ния ис­поль­зо­ва­на фор­му­ла кор­ней урав­не­ния с чет­ным ко­эф­фи­ци­ен­том b:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что урав­не­ние пря­мой имеет вид y  =  kx + b.

Найдём урав­не­ние функ­ции, от­ме­чен­ной на ри­сун­ке оран­же­вым цве­том. За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой, тогда По гра­фи­ку f(−2)  =  1, от­сю­да Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние пря­мой имеет вид

Найдём урав­не­ние функ­ции, от­ме­чен­ной на ри­сун­ке синим цве­том. За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой, тогда По гра­фи­ку f(3)  =  1, от­сю­да Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние пря­мой имеет вид

Те­перь найдём абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния функ­ций:

Тогда ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния функ­ций равна

Ответ: −11.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что

по­это­му, внося под знак корня, не­об­хо­ди­мо рас­смот­реть два слу­чая:

В слу­чае имеем:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет серия

В слу­чае имеем:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ют серии и

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Имеем Пусть пря­мая CE пе­ре­се­ка­ет ребро AB в точке M. Тре­уголь­ни­ки BME и DCE по­доб­ны, по­это­му от­ку­да Тогда Тре­уголь­ни­ки ABS и AMF по­доб­ны, зна­чит, По­это­му пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти CEF.

б)  Из до­ка­зан­но­го в преды­ду­щем пунк­те сле­ду­ет, что Тогда Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ABCD. Так как все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны, SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Имеем:

Плос­кость SDB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, и про­ек­ция H точки Q на плос­кость ос­но­ва­ния лежит на от­рез­ке DO. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков DQH и DSO на­хо­дим

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда и не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Пе­рейдём к си­сте­ме не­ра­венств:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, тогда

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­несём 1 в левую часть, при­ведём вы­ра­же­ния к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, по­лу­чим не­ра­вен­ство

При­ме­ним обобщённый метод ин­тер­ва­лов. Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства задаётся усло­ви­ем от­ку­да Кор­нем зна­ме­на­те­ля яв­ля­ет­ся число 1. Найдём корни чис­ли­те­ля:

Вы­яс­ним знаки не­ра­вен­ства на про­ме­жут­ках (0; 1) и (1; +∞), взяв проб­ные точки.

Пусть тогда зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен, чис­ли­тель равен По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, по­это­му на про­ме­жут­ке (1; +∞) дробь от­ри­ца­тель­на.

Пусть тогда зна­ме­на­тель от­ри­ца­те­лен, чис­ли­тель равен

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, по­сколь­ку по­это­му на на про­ме­жут­ке (0; 1) дробь по­ло­жи­тель­на.

Нанесём об­ласть опре­де­ле­ния, най­ден­ные корни и знаки не­ра­вен­ства на чис­ло­вую пря­мую (см. рис.) и вы­пи­шем ответ: (1; +∞).

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

Рас­смот­рим два слу­чая.

1 слу­чай. При по­лу­ча­ем

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем

2 слу­чай. При по­лу­ча­ем

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем, что вто­рой слу­чай не даёт ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, а ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти оди­на­ко­во эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют и алю­ми­ний, и ни­кель, они могут до­бы­вать любой из ме­тал­лов. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,1  =  80 кг ме­тал­ла.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют t ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − t ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных t, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При t мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при t боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 120 кг ме­тал­ла.

Ответ: 120 кг.

Ре­ше­ние. а)  Имеем:

рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Тогда

б)   пря­мо­уголь­ный.

AM  — бис­сек­три­са. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 268,8.

Ре­ше­ние. Решим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы.

При a  =  0 ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние  —

При при под­ста­нов­ке в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы по­лу­ча­ют­ся квад­рат­ные урав­не­ния. Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда каж­дое из этих урав­не­ний имеет ровно два корня и пара чисел (1; 1) не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы.

При x  =  1 по­лу­ча­ем:

Это квад­рат­ное урав­не­ние имеет ровно два корня при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те:

При по­лу­ча­ем:

Это квад­рат­ное урав­не­ние имеет два корня при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те:

Пара чисел (1;1) яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы при то есть a  =  −3.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 4 ре­ше­ния при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть   — сумма на синих кар­точ­ках,   — сумма на крас­ных кар­точ­ках. Тогда

а)  При­ве­дем при­мер. На каж­дой из со­ро­ка крас­ных кар­то­чек на­пи­са­на 1. На синих кар­точ­ках на­пи­са­ны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 706 (760 − 54). Эти числа удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме.

б)  Если крас­ных кар­то­чек 10, то наи­боль­шее число на крас­ных кар­точ­ках не может быть мень­ше 4 (иначе сумма на крас­ных кар­точ­ках не пре­вос­хо­дит что не­вер­но). Тогда ми­ни­маль­ное число на синих кар­точ­ках не мень­ше 5. Тогда сумма на 40 синих кар­точ­ках не мень­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

в)  При­ве­дем при­мер для 35 синих кар­то­чек и 15 крас­ных. На две­на­дца­ти крас­ных кар­точ­ках на­пи­са­но 3, на двух 1, и на одной 2. На синих кар­точ­ках на­пи­са­но:

Если же синих кар­то­чек боль­ше 35, то крас­ных мень­ше 15. Наи­боль­шее число на крас­ных кар­точ­ках не может быть мень­ше 3 (иначе сумма на крас­ных кар­точ­ках не пре­вос­хо­дит что не­вер­но). Тогда ми­ни­маль­ное число на синих кар­точ­ках не мень­ше 4. Тогда сумма на синих кар­точ­ках не мень­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  35.