Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­ча­ем:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет ребро AB в точке K. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABC и пря­мой KM:

от­ку­да AK  =  2 и KB  =  4. За­ме­тим далее, что углы ACS и BAS равны, а также AK  =  CM  =  2, AS  =  CS из усло­вия. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ASK и CSM равны, а по­то­му равны и от­рез­ки SK и SM. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое се­че­ние  — тре­уголь­ник SKM  — яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным по опре­де­ле­нию.

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в рав­но­бед­рен­но­му тре­уголь­ни­ке SAB:

Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ков SMC и AKM по­лу­ча­ем:

Вы­со­ту SH тре­уголь­ни­ка най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка SHM:

На­ко­нец, най­дем пло­щадь се­че­ния:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пусть тогда

При­ме­няя метод ин­тер­ва­лов, по­лу­ча­ем: Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ: (−1; 2].

Ре­ше­ние. За­пол­ним таб­ли­цу в со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи.

Номер ме­ся­ца	Долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг до на­чис­ле­ния про­цен­тов, тыс. руб.
1
2
...	...	...	...
15
16
17			0

Найдём сумму вы­плат, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

По усло­вию эта сумма равна 1608 тыс. руб. Зна­чит,

Найдём сумму взя­тую в кре­дит:

Ответ: 1 200 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  До­стро­им пря­мую AM до пе­ре­се­че­ния с пря­мой CM в точке K. Пусть тогда По свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка Тре­уголь­ник CHB пря­мо­уголь­ный, тогда по­это­му в тре­уголь­ни­ке ACK имеем тогда пря­мые AM и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  За­ме­тим, что в тре­уголь­ни­ке ACN от­ре­зок AK яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той, а зна­чит, тре­уголь­ник ACN рав­но­бед­рен­ный. Тогда CK  =  KN. Таким об­ра­зом, от­ре­зок AK яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к сто­ро­не CN, а зна­чит, CM  =  MN. Ана­ло­гич­но пря­мая CK  — бис­сек­три­са и вы­со­та в тре­уголь­ни­ке MCT, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным и CM  =  CT.

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством бис­сек­три­сы для тре­уголь­ни­ка ABC:

Таким об­ра­зом, СТ  =  5, TB  =  15. По­лу­ча­ем, MN  =  CT  =  CM  =  5.

Ответ: б)  5.

Ре­ше­ние. Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Пря­мые и (изоб­ра­же­ны синим пунк­ти­ром) раз­би­ва­ют плос­кость xOa на че­ты­ре части, в каж­дой из ко­то­рых мо­ду­ли сни­ма­ют­ся оди­на­ко­во.

I слу­чай: и По­лу­ча­ем:

II слу­чай: и Тогда:

По­лу­чен­ные ра­вен­ства не вы­пол­ня­ют­ся при

III слу­чай: и Со­во­куп­ность при­ни­ма­ет вид

IV слу­чай: и По­лу­ча­ем:

Гра­фи­ком со­во­куп­но­сти (⁎) яв­ля­ют­ся две ло­ма­ные (изоб­ра­же­ны оран­же­вым), ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет два ре­ше­ния при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, из числа 7 814 236 по­лу­ча­ет­ся каж­дое из чисел: 123, 426, 786.

б)  В пе­ре­чис­лен­ных чис­лах встре­ча­ют­ся все цифры от 1 до 9, зна­чит, каж­дая из этих цифр долж­на при­сут­ство­вать в де­вя­ти­знач­ном числе по од­но­му разу. Тогда цифра 3 долж­на сле­до­вать в за­пи­си после цифры 1, 5  — после 3, 7  — после 5, 1  — после 7. Таким об­ра­зом, еди­ни­ца долж­на сле­до­вать в за­пи­си после самой себя, что не­воз­мож­но.

в)  За­ме­тим, что из ис­ко­мо­го числа долж­ны по­лу­чать­ся числа 11, 22 и 33, по­это­му в его за­пи­си долж­ны при­сут­ство­вать не менее двух еди­ниц, двух двоек и двух троек и каж­дая из осталь­ных цифр. То есть в числе долж­но быть не мень­ше 13 цифр. Три­на­дца­ти­знач­ное число 1 231 234 056 789 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

По­ка­жем, что не су­ще­ству­ет мень­ше числа, удо­вле­тво­ря­ю­ще­го усло­вию за­да­чи. Для каж­до­го раз­ря­да числа, на­чи­ная от стар­ше­го, будем вы­би­рать наи­мень­шую воз­мож­ную цифру. Пер­вая цифра не может быть мень­ше 1. За­ме­тим, что нуль дол­жен идти после четвёрки, по­сколь­ку иначе нель­зя по­лу­чить число 40; между двумя еди­ни­ца­ми долж­ны быть двой­ка и трой­ка, по­сколь­ку иначе нель­зя по­лу­чить числа 21 и 31, по­это­му вто­рая цифра долж­на быть 2. Между двумя двой­ка­ми долж­на быть трой­ка, по­сколь­ку иначе нель­зя по­лу­чить число 32, по­это­му тре­тья цифра долж­на быть 3. Далее можно ис­поль­зо­вать по по­ряд­ку наи­мень­шие остав­ши­е­ся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не по­явит­ся четвёрка. После неё дол­жен идти нуль, а затем остав­ши­е­ся цифры в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ: а)  на­при­мер, 7 814 236; б)  нет; в)  1 231 234 056 789.