В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 42°, сто­ро­ны AC и BC равны. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

Из мно­же­ства на­ту­раль­ных чисел от 21 до 35 на­уда­чу вы­би­ра­ют одно число. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5?

Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,08. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (–7; 7). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции равна 0.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op, объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций Tr, а также ка­че­ства сайта Q. Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель  — целое число от 0 до 4.

Со­ста­ви­те­ли рей­тин­га счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся вдвое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций  — втрое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Если по всем че­ты­рем по­ка­за­те­лям какое-то из­да­ние по­лу­чи­ло одну и ту же оцен­ку, то рей­тинг дол­жен сов­па­дать с этой оцен­кой. Най­ди­те число A, при ко­то­ром это усло­вие будет вы­пол­нять­ся.

Заказ на из­го­тов­ле­ние 170 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 7 часов быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час из­го­тав­ли­ва­ет на 7 де­та­лей боль­ше вто­ро­го?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 10, вы­со­та SH равна 15. Точка K  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SA, а точка N  — се­ре­ди­на ребра BC. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ABC, про­хо­дит через точку K и пе­ре­се­ка­ет рёбра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая QP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок SN в его се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и AQP.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 8 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— в ян­ва­ре 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— в ян­ва­ре 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг воз­рас­та­ет на 16% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

— к июлю 2033 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1,221 млн руб­лей?

Точка O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Пря­мая BO вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что OP  =  CP.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти, если рас­сто­я­ние от точки P до пря­мой AC равно 12,

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Из пра­виль­ной не­со­кра­ти­мой дроби где a и b  — на­ту­раль­ные числа, за один ход по­лу­ча­ют дробь

а)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов из дроби  по­лу­чить дробь 

б)  Можно ли за два таких хода из не­ко­то­рой дроби по­лу­чить дробь 

в)  Не­со­кра­ти­мая дробь боль­ше 0,76. Най­ди­те наи­мень­шую дробь ко­то­рую нель­зя по­лу­чить ни из какой пра­виль­ной не­со­кра­ти­мой дроби за два таких хода.