Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 680778
i

Точка O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Пря­мая BO вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что OP  =  CP.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти, если рас­сто­я­ние от точки P до пря­мой AC равно 12, \angle ABC = 60 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим углы тре­уголь­ни­ка ABC: \angle A = 2 альфа , \angle B = 2 бета , \angle C = 2 гамма . За­ме­тим, что 2 альфа плюс 2 бета плюс 2 гамма = 180 гра­ду­сов. Углы \angle BPC = \angle BAC = 2 альфа , как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу. Ана­ло­гич­но \angle ACP = \angle ABP = бета . Тогда \angle COP = 180 гра­ду­сов минус гамма минус бета минус 2 альфа = гамма плюс бета . Но гамма плюс бета = \angle OCP, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник OCP  — рав­но­бед­рен­ный, а тогда OP  =  CP.

б)  Пусть R  — ра­ди­ус окруж­но­сти, Опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. По тео­ре­ме си­ну­сов AP = 2R синус \angle ABP = 2R синус 30 гра­ду­сов, тогда рас­сто­я­ние от точки P до пря­мой AC равна

AP умно­жить на синус \angle PAC = AP умно­жить на синус \angle PBC = AP умно­жить на синус 30 гра­ду­сов = 2R синус в квад­ра­те 30 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­лу­ча­ем R : 2  =  12, от­ку­да на­хо­дим R  =  24.

 

Ответ: б)  24.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 526218: 680006 680778 Все

Источник: Стат­Град: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та 18.03.2025 ва­ри­ант МА2410410
Методы геометрии: Свой­ства ор­то­цен­тра, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025