В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, высота SH равна 15. Точка K — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра BC. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AQP.
а) Плоскость ASB пересекает параллельные плоскости KQP и ABC по параллельным прямым, поэтому прямые KQ и AB параллельны. Аналогично параллельны прямые KP и AC. Значит, точка Q — середина ребра BS, точка P — середина ребра CS. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на основании, параллельном этой средней линии. А значит, она делит пополам и отрезок SN. Что и требовалось доказать.
б) Пусть прямые SN и PQ пересекаются в точке R. Тогда прямая AR перпендикулярна прямой PQ, прямая AN — ребру BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Из равностороннего треугольника ABC получаем:
далее,
а 
Значит, 
По теореме косинусов:
Тогда, еще раз применив теорему косинусов, получаем:
Ответ: 