PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC угол A равен 42°, стороны AC и BC равны. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите длину вектора 
Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Из множества натуральных чисел от 21 до 35 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,08. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решите уравнение 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график функции 
определенной на 
равна 0.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель — целое число от 0 до 4.
Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — втрое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.
Заказ на изготовление 170 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?
На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, высота SH равна 15. Точка K — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра BC. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AQP.
Решите неравенство 
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,221 млн рублей?
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что OP = CP.
б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 12, 
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Из правильной несократимой дроби 
где a и b — натуральные числа, за один ход получают дробь 
а) Можно ли за несколько таких ходов из 
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить 
в) Несократимая дробь 
больше 0,76. Найдите наименьшую дробь 
которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.
Поэтому при увеличении ребер в 3 раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз.
На изготовление 170 деталей первый рабочий тратит на 7 часов меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:
Следовательно,
значит, 
Значит, 
По теореме косинусов: 
или 
принимает положительные значения, при 
неравенство принимает вид:
Учитывая, ограничения 
получаем: 
тысяч рублей.
Заметим, что 
Углы 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Аналогично 
Тогда 
Но 
следовательно, треугольник OCP — равнобедренный, а тогда OP = CP.
тогда расстояние от точки P до прямой AC равна
задаёт для каждого положительного значения параметра a на плоскости Oxy квадрат ABCD с вершинами в точках 
и 
задаёт на плоскости Oxy ветвь параболы, заданной уравнением 
соответствующую условию 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет единственное решение 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет три решения.
касается стороны CD. Эта сторона лежит на прямой 
Касание будет иметь место при условии единственности корня уравнения 
Перепишем его в виде 
Вычислим дискриминант: 
При этом значении параметра уравнение имеет единственный корень 
Это означает, что при 
прямая 
касается параболы 
Эта точка принадлежит одновременно ветви параболы и отрезку CD.
откуда 
что невозможно для натуральных чисел.
а за два хода — только из дроби 
Если эта дробь правильная и несократимая, то её числитель должен быть натуральным числом, а знаменатель должен быть натуральным числом, большим числителя. Таким образом, дробь 
наименьшая несократимая дробь, большая 0,76, которую нельзя получить за два хода, 