1.
i
Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
РЕШУ ЕГЭ — математика профильная
Вариант № 8163627
Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.
2. Тип Д1 № 510005 
Источники:
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Чтение графиков и диаграмм. Определение величины по графику
i
На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.
Решение. Из графика видно, что среднемесячная температура была выше 18 градусов Цельсия в течение четырёх месяцев с июня по сентябрь.
Ответ: 4.
Ответ: 4
510005
4
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
3. Тип Д4 № 510006
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Квадратная решётка, координатная плоскость. Многоугольники: вычисление площадей
i
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см
Решение. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
510006
6
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
4. Тип 4 № 510008
Источники:
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Начала теории вероятностей. Классическое определение вероятности
i
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Решение. Из 25 билетов 23 не содержат вопроса о грибах, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса о грибах, равна
Ответ: 0,92.
Ответ: 0,92
510008
0,92
5. Тип 6 № 510009
Источники:
Классификатор алгебры: Показательные уравнения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Простейшие уравнения. Показательные уравнения
i
Найдите корень уравнения 3x − 5 = 81.
Решение. Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 9.
Ответ: 9
510009
9
Источники:
Классификатор алгебры: Показательные уравнения
6. Тип 1 № 510010
Источники:
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.1 Треугольник
Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника
i
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.
Решение.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду.
Значит,
Ответ: 64.
Ответ: 64
510010
64
7. Тип 8 № 510011
Источники:
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Производная и первообразная. Применение производной к исследованию функций
i
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Решение. Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция f(x) убывает. В этих интервалах лежат точки x3, x4, x5, x9. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
510011
4
Источники:
8. Тип 3 № 510012
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур
Стереометрия. Призма
i
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в
Решение. Объем цилиндрического сосуда выражается через его диаметр и высоту как 
При увеличении диаметра сосуда в 
уменьшится в
Ответ: 4.
Ответ: 4
510012
4
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур
9. Тип 7 № 510013
Источники:
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Вычисления и преобразования. Преобразования числовых тригонометрических выражений
i
Найдите 
если 
и 
Решение. Поскольку угол 
лежит в третьей и четвёртой четвертях, его синус отрицателен. Поэтому
Ответ: −0,8.
Ответ: -0,8
510013
-0,8
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
10. Тип 9 № 510014
Источники:
Классификатор алгебры: Рациональные уравнения и неравенства
Задачи с прикладным содержанием. Рациональные уравнения и неравенства
i
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле 
где 
м/с
— частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником
Решение. Задача сводится к решению уравнения 
м/с м/с
МГц
МГц.
Ответ: 751.
Ответ: 751
510014
751
Классификатор алгебры: Рациональные уравнения и неравенства
11. Тип 10 № 510016
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.12.2* Задачи на движение по воде
Текстовые задачи. Задачи на движение по воде
i
Весной катер идёт против течения реки в 
раза
раза
Решение. Пусть x (км/ч) — собственная скорость катера, 
(км/ч)
(км/ч);
Составим таблицу по данным задачи.
| Скорость весной | Скорость летом | |
| По течению |  |  |
| Против течения |  |  |
Решим систему уравнений:
Таким образом, скорость течения весной равна 5 км/ч.
Ответ: 5.
Ответ: 5
510016
5
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.12.2* Задачи на движение по воде
12. Тип 12 № 510017
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование показательных и логарифмических функций
i
Найдите точку максимума функции 
Решение. Заметим, что 
а значит,
Тогда
Производная обращается в нуль в точке −5, которая является точкой максимума.
Ответ: −5.
Приведём другой способ нахождения производной.
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:
Ответ: -5
510017
-5
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
13. Тип 13 № 510018
Источники:
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Преобразуем обе части уравнения:
откуда 
или 
Из уравнения находим: 
где 
Из уравнения 
находим: 
где 
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку Получим 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 510018
а) б)
б) Источники:
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
14. Тип 14 № 510019
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Угол между плоскостями
Стереометрическая задача. Угол между плоскостями
i
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Решение. а) Пусть точка H — середина AC. Тогда
Вместе с тем,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1. Отметим, что прямые NP и A1A взаимно перпендикулярны, поскольку ребро призмы перпендикулярно ее основанию. Следовательно, прямая NP перпендикулярна плоскости ABB1 боковой грани призмы. Поэтому прямая MP — проекция прямой MN на плоскость ABB1.
Прямые BM и MN взаимно перпендикулярны, поэтому, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, прямые BM и MP также взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого двугранного угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть 
Поэтому
Следовательно, 
Ответ: б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
510019
б)
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Угол между плоскостями
15. Тип 15 № 510020
Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции
Методы алгебры: Использование косвенных методов
Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции
i
Решите неравенство 
Решение. Левая часть неравенства определена при 
При 
справедливы неравенства
поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит 
При 
справедливы неравенства
поэтому левая часть неравенства и в этом случае отрицательна и не превосходит
Таким образом, решением исходного неравенства являются интервалы (0; 1) и (1; 2).
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
510020
Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции
Методы алгебры: Использование косвенных методов
16. Тип 14 № 510021
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Стереометрическая задача. Круглые тела: цилиндр, конус, шар
i
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй —
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны
Решение.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, радиус окружности с центром в точке O1 равен 4, а радиус окружности с центром в точке O2 равен 1. Треугольники BKC и AKD подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что 
Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1. Получаем:
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Ответ: б) 3,2.
Приведем решение пункта б) Рамиля Багавиева.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:
Из подобия треугольников AKD и AKB следует 
таким образом, AK = 2BK. Применим теорему Пифагора к треугольнику AKB, находим:
Тогда 
откуда получаем:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
17. Тип 16 № 510022
Источники:
Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи о кредитах, Общие задачи по финансовой математике
Финансовая математика. Кредиты
i
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит:
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому 
откуда 
При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и
Ответ: 3 993 000 рублей.
Приведём другое решение.
Пусть x — один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: 
После внесения второго платежа сумма долга станет равной 
Сумма долга после третьего платежа: 
Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
18. Тип 18 № 510023
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Классификатор алгебры: Уравнение окружности
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности
Задача с параметром. Уравнение окружности
i
Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Если x ≥ 0, то уравнение (|x| − 5)2 + (y − 4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 (5; 4) радиусом 3, а если x < 0, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рис.).
При положительных значениях a уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность ω с центром в точке C (−2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.
Из точки C проведём луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью ω1, где A1 лежит между C и C1. Так как
то
При a < CA1 или a > CB1 окружности ω и ω1 не пересекаются.
При CA1 < a < CB1 окружности ω и ω1 имеют две общие точки.
При a = CA1 или a = CB1 окружности ω и ω1 касаются.
Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью ω2, где A2 лежит между C и C2. Так как
то
При a < CA2 или a > CB2 окружности ω и ω2 не пересекаются.
При CA2 < a < CB2 окружности ω и ω2 имеют две общие точки.
При a = CA2 или a = CB2 окружности ω и ω2 касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но — или в ответ включены также и одно-два неверных значения; — или решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ:
510023
Источники:
Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;
Классификатор алгебры: Уравнение окружности
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности
19. Тип 19 № 510024
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k − 8l + 0 · m = −3(k + l + m).
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство 4k − 8l = −3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k − 8l = −3(k + l + m), откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44, получаем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤ 17, то есть положительных чисел не более 17.
в) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда 
указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
----------
Дублирует задание 500820.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
510024
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства