СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 510019

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение.

а) Пусть точка H — середина AC.

Тогда

Вместе с тем,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1, кроме нее NPA1A. Следовательно, NP ⊥ ABB1. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1.

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BMMP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть

Поэтому

Следовательно,

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 510019: 511603 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Угол между плоскостями
Спрятать решение · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Никита Пушкин 19.02.2017 13:44

Решаю методом координат, получаю ответ Проверял много раз, ответ не меняется. У вас точно нет ошибки?

Константин Лавров

А привести свой ответ к нашему уже сил не хватает? У нас все верно.