Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510019
i

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AA1 и A1C1 со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на AC. Тогда

BN в квад­ра­те =BH в квад­ра­те плюс NH в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те =63.

Вме­сте с тем,

BM в квад­ра­те плюс MN в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 3 в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 3 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = 63,

а тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник BMN яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным с пря­мым углом M.

б)  Про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр NP к пря­мой A1B1. От­ме­тим, что пря­мые NP и A1A вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­сколь­ку ребро приз­мы пер­пен­ди­ку­ляр­но ее ос­но­ва­нию. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая NP пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB1 бо­ко­вой грани приз­мы. По­это­му пря­мая MP  — про­ек­ция пря­мой MN на плос­кость ABB1.

Пря­мые BM и MN вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые BM и MP также вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но, угол NMP  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла.

Длина NP равна по­ло­ви­не вы­со­ты тре­уголь­ни­ка A1B1C1, то есть NP= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­это­му

синус \angle NMP = дробь: чис­ли­тель: NP, зна­ме­на­тель: MN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 3 ко­рень из 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из 8 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, \angle NMP = арк­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) арк­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 510019: 511603 Все

Источники:
Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2018 по ма­те­ма­ти­ке. Про­филь­ный уро­вень;
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Никита Пушкин 19.02.2017 13:44

Решаю ме­то­дом ко­ор­ди­нат, по­лу­чаю ответ арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 4. Про­ве­рял много раз, ответ не ме­ня­ет­ся. У вас точно нет ошиб­ки?

Константин Лавров

У вас все верно: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та }4= арк­си­нус ко­рень из { дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: . конец дроби



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025