СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 510019

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— се­ре­ди­ны рёбер AA1 и A1C1 со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB1.

Решение.

а) Пусть точка H — середина AC.

Тогда

Вместе с тем,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1, кроме нее NPA1A. Следовательно, NP ⊥ ABB1. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1.

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BMMP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть

Поэтому

Следовательно,

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 510019: 511603 Все

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень., Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2018 по математике. Про­филь­ный уровень., Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2020 по математике. Про­филь­ный уровень.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Теорема о трёх перпендикулярах, Угол между плоскостями
Спрятать решение · ·
Никита Пушкин 19.02.2017 13:44

Решаю методом координат, получаю ответ Проверял много раз, ответ не меняется. У вас точно нет ошибки?

Константин Лавров

А привести свой ответ к нашему уже сил не хватает? У нас все верно.