СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 510023

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение.

Если x ≥ 0, то уравнение (|x| − 5)2 + (y − 4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 (5; 4) радиусом 3, а если x < 0, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях a уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность ω с центром в точке C (−2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.

Из точки C проведём луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью ω1, где A1 лежит между C и C1. Так как

то

При a < CA1 или a > CB1 окружности ω и ω1 не пересекаются.

При CA1 < a < CB1 окружности ω и ω1 имеют две общие точки.

При a = CA1 или a = CB1 окружности ω и ω1 касаются.

 

Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью ω2, где A2 лежит между C и C2. Так как

то

При a < CA2 или a > CB2 окружности ω и ω2 не пересекаются.

При CA2 < a < CB2 окружности ω и ω2 имеют две общие точки.

При a = CA2 или a = CB2 окружности ω и ω2 касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 484649: 484650 485952 507190 510023 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение окружности
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
An San 05.03.2016 19:29

числа –2 и тоже являются решениями этой задачи

Александр Иванов

Уважаемый An San!

Если Вы внимательно прочитаете третье слово в условии этой задачи, то не будете столь категоричны.