СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 510023

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Решение.

Если x ≥ 0, то уравнение (|x| − 5)2 + (y − 4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 (5; 4) радиусом 3, а если x < 0, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях a уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность ω с центром в точке C (−2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.

Из точки C проведём луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью ω1, где A1 лежит между C и C1. Так как

то

При a < CA1 или a > CB1 окружности ω и ω1 не пересекаются.

При CA1 < a < CB1 окружности ω и ω1 имеют две общие точки.

При a = CA1 или a = CB1 окружности ω и ω1 касаются.

 

Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью ω2, где A2 лежит между C и C2. Так как

то

При a < CA2 или a > CB2 окружности ω и ω2 не пересекаются.

При CA2 < a < CB2 окружности ω и ω2 имеют две общие точки.

При a = CA2 или a = CB2 окружности ω и ω2 касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 484649: 484650 485952 507190 510023 Все

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень., Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2018 по математике. Про­филь­ный уровень., Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2020 по математике. Про­филь­ный уровень.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение окружности
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности
Спрятать решение · Прототип задания · ·
An San 05.03.2016 19:29

числа –2 и тоже являются решениями этой задачи

Александр Иванов

Уважаемый An San!

Если Вы внимательно прочитаете третье слово в условии этой задачи, то не будете столь категоричны.