ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 667319 Добавить в вариант

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

  —  каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую‐то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1540 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2035 году.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим для удобства изначальную сумму кредита за S  =  900 тыс. руб. Пусть x тыс. руб.  — постоянная сумма на которую уменьшается долг каждый июль с 2026 по 2030 год, а y тыс. руб.  — с 2031 по 2035 года. Тогда суммы долга в июле по годам с 2025 по 2035 составят:

$S ,$ $S минус x,$ $S минус 2x,$ $S минус 3x,$ $S минус 4x,$ $S минус 5x,$ $S минус 5x минус y,$ $S минус 5x минус 2y,$ $S минус 5x минус 3y,$ $S минус 5x минус 4y,$ $S минус 5x минус 5y=0.$

Из последнего равенства следует, что x + y  =  180, откуда x  =  180 – y.

Пусть k  =  0,2, тогда проценты начисленные с 2026 по 2035 год составят:

kS, $k левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус y правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 2y правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 3y правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка ,$

а выплаты в соответствующие годы будут:

$kS плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус y правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 2y правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 3y правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y.$

Тогда сумма выплат является суммой двух различных арифметических прогрессий по пять членов в каждой и составит:

$дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=1540 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=1540 равносильно 1800 плюс 5x минус 7x плюс 5y минус 2y=1540 равносильно$
$равносильно 2x минус 3y=260 \underset x=180 минус y \mathop равносильно 2 левая круглая скобка 180 минус y правая круглая скобка минус 3y = 260 равносильно y= 20.$ $дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=1540 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=1540 равносильно$
$равносильно 1800 плюс 5x минус 7x плюс 5y минус 2y=1540 равносильно$
$равносильно 2x минус 3y=260 \underset x=180 минус y \mathop равносильно 2 левая круглая скобка 180 минус y правая круглая скобка минус 3y = 260 равносильно y= 20.$ $дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=1540 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=1540 равносильно$
$равносильно 1800 плюс 5x минус 7x плюс 5y минус 2y=1540 равносильно$
$равносильно 2x минус 3y=260 \underset x=180 минус y \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 2 левая круглая скобка 180 минус y правая круглая скобка минус 3y = 260 равносильно y= 20.$

Следовательно, выплата за 2035 год составит:

$k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y=ky плюс y=0,2 умножить на 20 плюс 20=24$  тыс. руб.

Ответ: 24 тыс. руб.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 642751: 642735 667319 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 469

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь