Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны. По­это­му

Ответ: 34.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты век­то­ров:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. По по­стро­е­нию ра­ди­у­сы шара и ос­но­ва­ния ци­лин­дра равны. Пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r и вы­со­той 2r равна

Пло­щадь по­верх­но­сти шара ра­ди­у­са r равна то есть в 1,5 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ци­лин­дра. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия A  =  «уча­щий­ся решит 4 за­да­чи» и В  =  «уча­щий­ся решит боль­ше 4 задач». Их сумма  — со­бы­тие A + B  =  «уча­щий­ся решит боль­ше 3 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,86  =  P(A) + 0,73, от­ку­да P(A)  =  0,86 − 0,73  =  0,13.

Ответ: 0,13.

Ре­ше­ние. Усло­вию, что при дву­крат­ном брос­ке иг­раль­ной кости шесть очков не вы­па­ли ни разу, со­от­вет­ству­ет 25 ис­хо­дов (от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том). Со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 10» со­от­вет­ству­ет 1 из них (от­ме­чен зелёным цве­том). Зна­чит, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,04.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Точке мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ет из­ме­не­ние знака про­из­вод­ной с плюса на минус. По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Найдём, при каком уско­ре­нии гон­щик до­стиг­нет тре­бу­е­мой ско­ро­сти, про­ехав один ки­ло­метр. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­нии длины пути км:

Если его уско­ре­ние будет пре­вос­хо­дить най­ден­ное, то, про­ехав один ки­ло­метр, гон­щик наберёт боль­шую ско­рость, по­это­му наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое уско­ре­ние равно 7200 км/ч².

Ответ: 7200.

Ре­ше­ние. Пусть  км/ч  — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым, тогда ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна  км/ч. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на 9 часа рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Зна­чит, пер­вым фи­ни­ши­ро­вал ве­ло­си­пе­дист, дви­гав­ший­ся со ско­ро­стью 19 км/ч.

Ответ: 19.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  −3, c  =  2. Тогда

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −6.

Ре­ше­ние.

а)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку от­бе­рем с по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию MB₁KD  — ромб. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMD и A₁MB₁. За­ме­тим, что по­сколь­ку приз­ма пра­виль­ная, и по­сколь­ку MB₁KD  — ромб. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AMD и A₁MB₁ равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, сле­до­ва­тель­но,

б)  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MK па­рал­ле­лен диа­го­на­ли ос­но­ва­ния AC, а его длина равна

по­сколь­ку

Се­че­ние приз­мы  — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

от­ку­да

Обо­зна­чим вы­со­ту приз­мы h. Тогда от­ку­да Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим, что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

При­ведём дру­гой спо­соб.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать x² часов, тогда они про­из­ве­дут х еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим пер­во­го за­во­да пойдёт 200x² руб­лей. Пусть на вто­ром за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать y² часов, тогда они про­из­ве­дут y еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим вто­ро­го за­во­да пойдёт 300y² руб­лей. Тогда

Общее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра, про­из­во­ди­мое двумя за­во­да­ми, равно

где Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S(y) для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной. Возьмём про­из­вод­ную:

Найдём ста­ци­о­нар­ные точки:

От­ме­тим на ри­сун­ке про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти функ­ции:

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма:

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. а)  Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Сле­до­ва­тель­но, углы BAH и BB₁C₁ тоже равны.

б)  Пусть O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Тре­бу­ет­ся вы­чис­лить длину от­рез­ка OD. За­ме­тим, что

Тре­уголь­ни­ки AB₁C₁ и ABC по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам и углу между ними, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Зна­чит,

Угол BOС равен удво­ен­но­му углу BAC, то есть равен 60°. Сле­до­ва­тель­но, и угол OBD равен 60°. Тогда

Ответ: б) 18.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Уча­щий­ся, изу­ча­ю­щий гео­мет­рию углублённо, решит пункт б) в одну строч­ку:

Ответ: 18.

При­ве­дем по­лез­ные тео­ре­мы, на при­ме­не­ние ко­то­рых со­став­ле­на эта за­да­ча.

1.  Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра вдвое боль­ше рас­сто­я­ния от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти до про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны (опыт­ный чи­та­тель пред­ло­жит не менее шести до­ка­за­тельств этого факта; см., на­при­мер, здесь).

2.  Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра равно про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­не, умно­жен­ной на ко­тан­генс угла при этой вер­ши­не.

3.  Если из двух вер­шин не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ве­де­ны вы­со­ты к его сто­ро­нам или их про­дол­же­ни­ям, то ос­но­ва­ния этих высот и тре­тья вер­ши­на тре­уголь­ни­ка об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный дан­но­му, а ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

До­ка­за­тель­ства этих и дру­гих свойств при­ве­де­ны, на­при­мер, здесь: Ор­то­центр и ор­то­тре­уголь­ник.

По­лез­но будет срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­я­ми 505425 и 519473 из эк­за­ме­на­ци­он­но­го ва­ри­ан­та ЕГЭ 2014 года, за­да­ни­ем 519475 из ЕГЭ−2018, за­да­ни­ем 526342 из ЕГЭ−2019.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ка­ми урав­не­ний яв­ля­ют­ся пря­мые и При не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях x не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют точки ле­жа­щие од­но­вре­мен­но не ниже пря­мой и не выше пря­мой Ре­ше­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы на от­рез­ке [0; 1] вы­де­ле­но оран­же­вым цве­том. Абс­цис­сы точек A и B пе­ре­се­че­ния пря­мых найдём из урав­не­ний:

От­ку­да и

Ана­ли­зи­руя гра­фик, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 1]:

  — при не имеет кор­ней;

  — при имеет один ко­рень;

  — при имеет два корня;

  — при имеет один ко­рень;

  — при не имеет кор­ней.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 1] имеет один ко­рень при или при

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что число крат­но 45 тогда и толь­ко тогда, когда оно крат­но 5 и 9. Зна­чит, цифры 0 и 5 стоят у этих чисел на конце, а сумма цифр каж­до­го из них крат­на 9.

а)  Да. На­при­мер ,

б)  Нет, по­сколь­ку число 3435 не крат­но 9, и по­то­му не может быть сум­мой двух чисел, крат­ных 9.

в)  За­ме­тим, что До­ка­жем, что это наи­боль­шая воз­мож­ная сумма. Как уже уста­нов­ле­но, цифры 0 и 5 стоят в раз­ря­де еди­ниц. Если в раз­ря­де тысяч стоит не 9, то сумма не пре­вос­хо­дит

Если в раз­ря­де сотен стоят не цифры 3 и 7, то сумма не пре­вос­хо­дит

Если же в раз­ря­де сотен стоят цифры 3 и 7, то в раз­ря­де де­сят­ков толь­ко остав­ши­е­ся 1 и 2 и сумма тогда равна

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10035.