PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Ананасы стоят 85 руб. за штуку. Какое максимальное число ананасов можно купить на 500 руб., если их цена снизится на 20%?
На рисунке жирными точками показано изменение биржевой стоимости акций целлюлозно-бумажного завода в первой половине апреля. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. 2 апреля бизнесмен приобрёл 250 акций этого завода. 6 апреля он продал 150 акций, а оставшиеся акции продал 11 апреля. Сколько рублей составили убытки бизнесмена в результате этих операций?
Фирма планирует закупить 150 м3 древесины у одной из трёх лесопилок. Цены и условия приведены в таблице. Какова стоимость самой выгодной покупки с учётом доставки?
| Перевозчик | Стоимость древесины (руб. за 1 м3) | Стоимость доставки (руб.) | Дополнительные условия |
| А | 3600 | 20 000 | При заказе на сумму свыше 550 000 руб. доставка бесплатная |
| B | 3500 | 30 000 | При заказе на сумму свыше 500 000 руб. доставка бесплатная |
| C | 3500 | 25 000 |
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB угол С равен 48°. Найдите угол между стороной AB и высотой АН этого треугольника.
У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более
Найдите корень уравнения 
В треугольнике 
Найдите 
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
Найдите значение выражения 
При нормальном падении света с длиной волны 
нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол 
(отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением 
Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1800 нм.
В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 30 минут. Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая отдельно, если известно, что он сделает это на 25 минут быстрее, чем первый.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [−2; 2].
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку О — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB =10.
Решите неравенство 
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны
Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
| Вид начинки | Себестоимость (за 1 тонну) | Отпускная цена (за 1 тонну) | Производственные возможности |
| ягоды | 70 тыс. руб. | 100 тыс. руб. | 90 (тонн в мес.) |
| творог | 100 тыс. руб. | 135 тыс. руб. | 75 (тонн в мес.) |
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.
Тогда 
и подставим в формулу для объёма шара
нм на интервале 
при заданных значениях длины волны света 
: 
Имеем:
минут. 
фильтры за минуту очищают 
цистерны. Из уравнения 
подбором находим: 
Искомое решение единственно в силу убывания левой части уравнения на луче 
Таким образом, второй насос очистит цистерну за 50 минут.
Производная обращается в 0 в точке 0, являющейся точкой минимума и лежащей на отрезке [−2; 2]. Поэтому наименьшим значением функции на этом отрезке является 
имеем: 
принадлежат корни 
б) 
аналогично 
Так как EKMF прямоугольник, получаем: 
Применим теорему косинусов в треугольнике 
то данное неравенство можно записать в виде: 
по формулам суммы и разности логарифмов, получаем, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
O — центр вписанной окружности треугольника ABC, поэтому 
— биссектрисы углов A и B, значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рис.).
(по построению), поэтому 
тогда 
Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: 
Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки 
лежат на одной окружности.
радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника 
Пусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда 
Точки 
лежат на одной окружности, поэтому радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
и равен 
Из треугольника ABK по теореме синусов:
Тогда
поэтому 
откуда 
а 
откуда 
Прибыль завода с одной тонны продукции с ягодной начинкой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб., прибыль с одной тонны продукции с творожной начинкой равна 135 − 100 = 35 тыс. руб., а общая прибыль с произведённой за месяц продукции равна 30 · 90x + 35 · 75y = 2700x + 2625y.
принимает наибольшее значение при 
Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц равна: 
являются искомыми.
где b = a − 3. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
Поэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = 3, поэтому 
Если известно, что S < 900, то из неравенства 
следует, что 
откуда n < 42 (при 
имеем: 
). При n = 41 имеем: 
натуральные числа от 1 до 41 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 41, а сумма меньше 900. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 41.
— наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна 
Если известно, что сумма данных n чисел равна 235, то 
Заметим, что 
число 47 простое и 
(в пункте б) доказано, что 
), то n — один из делителей числа 10.
то возможные значения n = 5 или n = 10. Подставим в равенство 
поочередно n = 5 и n = 10, получаем следующие равенства: 
и 
Первое из этих равенств выполняется, например, при 
а второе — при 
Прогрессии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 состоят из 5 и 10 членов, а их сумма равна 235.