PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков.
Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
| План «0» | Нет | 2,5 руб. за 1 Мб |
| План «500» | 550 руб. за 500 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб |
| План «800» | 700 руб. за 800 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб |
Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Мб?
Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано
Найдите корень уравнения 
Вписанный угол окружности на 42° меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу данной окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
На рисунке изображен график производной функции
При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка M — середина ребра AB, S — вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды
Найдите значение выражения 
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону 
где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 15, а диагональ BD1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A1 и C.
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 6, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости BCP.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.
Решите неравенство 
В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что 
и ∠KMN = 45°.
В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
не имеет решений.
В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.
а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 161 очко?
б) Может ли игрок четырьмя бросками набрать ровно 235 очков?
в) С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 947 очков?
см2.
выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна
откуда 
:
(с)
(с)
Диагонали правильной четырёхугольной призмы равны: 
По теореме Пифагора получаем: 
литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров, отсюда имеем:
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
удовлетворяют только числа 
б) 
Проведем высоту PN треугольника BCP и соединим точку N с основанием O высоты пирамиды. По теореме о трех перпендикулярах отрезок ON также перпендикулярен BC, а, значит, угол PNO ― линейный угол двугранного угла PBCO. 
из прямоугольного треугольника PNO находим 
откуда окончательно получаем 
тогда 
и, следовательно, 
откуда 
или 
но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 21 человек ― 
от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из меньшего класса и мальчика из большего, суммарный процент мальчиков вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из мальчиков, а в большем классе ― 20 девочек и 2 мальчика.
), тогда в больший класс попало (
) мальчиков. Значит, суммарная доля мальчиков в двух классах равна 
и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [1; 21], то есть при 
Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочки и 2 мальчика.
и положим 
где 
Тогда исходное уравнение принимает вид 
на отрезке [0; 2]. 
поэтому 
на промежутке [0; 1) и 
на промежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. 
поэтому множество значений функции на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (1); f (2)], 
Таким образом, уравнение 
не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия 
или 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия 
или 
Таким образом, приходим к совокупности
