Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем огра­ни­че­ния на x.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 2 минус 5x боль­ше 0 , новая стро­ка 2 минус 5x не равно 1 , новая стро­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 боль­ше 0 , новая стро­ка 6x в квад­ра­те минус 6x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , конец си­сте­мы .x не равно 0,x не равно 1. конец со­во­куп­но­сти .

Не труд­но до­ка­зать, что дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Дей­стви­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но 6 мень­ше 15 минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 12 рав­но­силь­но минус 9 мень­ше минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше минус 3 рав­но­силь­но 3 мень­ше 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 9 рав­но­силь­но 9 мень­ше 75 мень­ше 81

Итак,

си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , конец си­сте­мы .x не равно 0,x не равно 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , новая стро­ка x не равно 0 , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . конец си­сте­мы .

Решим за­дан­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве M = левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции.

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка 3 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка 2 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 6 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка 6 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка }6 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 6, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 6, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 минус 2 плюс 5x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 5x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус 6x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6x в квад­ра­те минус x минус 1, зна­ме­на­тель: 6x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6x в квад­ра­те минус x минус 1, зна­ме­на­тель: x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Най­дем корни чис­ли­те­ля по­след­не­го не­ра­вен­ства.

6x в квад­ра­те минус x минус 1=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 24 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Так как ис­ко­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ной мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то минус 1 мень­ше 0,x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 0 для всех x при­над­ле­жит M. Сле­до­ва­тель­но, на M:

дробь: чис­ли­тель: 6x в квад­ра­те минус x минус 1, зна­ме­на­тель: x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния−+−+

 

Ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми пе­ре­мен­ной x будут эле­мен­ты мно­же­ства левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025