СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508118

На листе бумаги в строчку записаны 11 единиц.

а) Докажите, что между этими единицами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.

б) Докажите, что если единицы, стоящие на четных местах, заменить на семерки, все равно между числами полученного набора можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.

в) Докажите, что между любыми 11 натуральными числами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.

Решение.

a) Приведем пример такой расстановки: , что делится на 54.

 

б) Приведем пример такой расстановки: , что делится на 54.

 

в) Разобъём данные 11 натуральных чисел на 4 группы: 3 группы по 3 числа и одну группу из двух чисел. Нам достаточно доказать, что в любой группе из любых 3-х натуральных чисел можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что получится число, кратное 3, а в любой группе из любых 2-х натуральных чисел - кратное 2. Так как в таком случае произведение 4-х полученных чисел кратно

В группе из 2-х чисел: 1) Если среди чисел есть чётное, то перемножив числа получим число, делящееся на 2;

2) Если оба числа нечётные, то их сумма будет кратна 2;

В группе из 3-х чисел:

1) Если среди чисел есть число, кратное 3, то, перемножив числа, получим число, делящееся на 3;

2) Если все числа дают одинаковый остаток от деления на 3 (1 или 2), то их сумма будет кратна 3;

3) Если среди чисел есть такие, ненулевой остаток от деления на 3 которых различен, то сложив два числа с различным остатком и умножив полученную сумму на оставшееся число, мы получим число, делящееся на 3.

Что и требовалось доказать.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства