СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508118

На листе бу­ма­ги в строч­ку за­пи­са­ны 11 еди­ниц.

а) До­ка­жи­те, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б) До­ка­жи­те, что если еди­ни­цы, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, за­ме­нить на се­мер­ки, все равно между чис­ла­ми по­лу­чен­но­го на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в) До­ка­жи­те, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

Ре­ше­ние.

a) При­ве­дем при­мер такой рас­ста­нов­ки: , что де­лит­ся на 54.

 

б) При­ве­дем при­мер такой рас­ста­нов­ки: , что де­лит­ся на 54.

 

в) Раз­объём дан­ные 11 на­ту­раль­ных чисел на 4 груп­пы: 3 груп­пы по 3 числа и одну груп­пу из двух чисел. Нам до­ста­точ­но до­ка­зать, что в любой груп­пе из любых 3-х на­ту­раль­ных чисел можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что по­лу­чит­ся число, крат­ное 3, а в любой груп­пе из любых 2-х на­ту­раль­ных чисел - крат­ное 2. Так как в таком слу­чае про­из­ве­де­ние 4-х по­лу­чен­ных чисел крат­но

В груп­пе из 2-х чисел: 1) Если среди чисел есть чётное, то пе­ре­мно­жив числа по­лу­чим число, де­ля­ще­е­ся на 2;

2) Если оба числа нечётные, то их сумма будет крат­на 2;

В груп­пе из 3-х чисел:

1) Если среди чисел есть число, крат­ное 3, то, пе­ре­мно­жив числа, по­лу­чим число, де­ля­ще­е­ся на 3;

2) Если все числа дают оди­на­ко­вый оста­ток от де­ле­ния на 3 (1 или 2), то их сумма будет крат­на 3;

3) Если среди чисел есть такие, не­ну­ле­вой оста­ток от де­ле­ния на 3 ко­то­рых раз­ли­чен, то сло­жив два числа с раз­лич­ным остат­ком и умно­жив по­лу­чен­ную сумму на остав­ше­е­ся число, мы по­лу­чим число, де­ля­ще­е­ся на 3.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства