PDF-версии: 
a) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение
Решим отдельно уравнение полученной системы:
Значит, возвращаясь к системе, получаем
б) Заметим, что
Значит, отрезку 
принадлежит корень −2.
Ответ: а) {−2; 2}; б) –2.
Примечание: переход (⁎) равносилен по правилу 1.
Справедлива равносильность
Это свойство, основанное на том, что число, равное положительному, положительно, позволяет вместо двух неравенств 
проверять одно любое. Оставляют более простое условие.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
и 
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
на ребре BD такую, что прямые BN и 
параллельны. Тогда 
и 
поэтому площадь треугольника EKN составляет 
тогда неравенство примет вид: 
или 
При 
При 
получим: 
или 
или 
и удалена от AD на R. Точка Q равноудалена от сторон AD и CD квадрата ABCD, значит, точка Q лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2, считая от D. Аналогично точка P, диаметрально противоположная точке L, лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2, считая от B. Следовательно, 
Тогда 
и
то есть 
Прямоугольные треугольники EDK и ECB подобны с коэффициентом 
следовательно, 
откуда находим:
По теореме Пифагора в треугольнике ABD находим 
По свойству касательной и секущей получаем: 
то есть 
Решением этого уравнения является 
(не подходит) или 
откуда DQ = QP = PB, что и требовалось доказать.
Находим:
следовательно,
и 
то получаем уравнение: 
и 
то получаем уравнение: 
и 
Точки A(−1; 0), B(0; −1) и C(−1; −1) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
отрезка AB прямой 
дуги 
параболы 
с концами в точках B и C и дуги 
параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.). 
прямая m касается парабол 
прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений. 
прямая m касается дуг 
прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг 
или 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги 
отвечает этому требованию для обеих парабол.
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня. 
и 
и 
причём 
Тогда 
и 
Поскольку 
− простое
и 
тогда 
то 
и 
откуда получаем: 
и 
Следовательно, 
Заметим, что равенство 
может достигаться только при 
но в таком случае уравнение 
не имеет целых корней. Уравнение 
имеет корни 1 и 18, и для него 
Значит, наибольшее значение 
равно 37.