PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют. Первый множитель равен нулю, если
откуда 
При всех таких х второй множитель существует, поскольку он определен для любых значений переменной.
Рассмотрим второй случай:
Проверим выполнение условия 
Числа вида 
не подходят, поскольку тангенс любого из них равен нулю. Серия 
также посторонняя, поскольку соответствующие точки лежат во второй четверти, где тангенс отрицателен. Наконец, используя периодичность тангенса, его нечетность и применяя формулу приведения, получаем, что для всех k
поэтому серия 
подходит.
Объединяя случаи, заключаем, что решениями уравнения являются 
или 
б) Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.), подходят числа 
и 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
а треугольники SKP и SAC подобны, отсюда: 
Окончательно получаем:
кг,
откуда z — четное число. Обозначим z через 2t. Тогда: 
Выражение 
— четное число, следовательно, 
будет числом нечетным. Тогда и 15t окажется нечетным, что возможно лишь при нечетном t. Ясно, что 
(тыс. руб.),
(тыс. руб.),
(тыс. руб.)
BC = 5.
Что и требовалось доказать.
поэтому угол BAC прямой. Тогда треугольники O2IA и O1KA равнобедренные прямоугольные. Отсюда 
построим графики 
и 
Первый график — парабола 
и второй — прямая 
разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется. 
является пучок прямых 
проходящих через точку с координатами 
имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях. 
(выделено оранжевым). Тогда 
должно иметь единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант:
или 
При 
абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При 
не имеет решений;
имеет бесконечное число решений;
имеет одно решение;
имеет бесконечное число решений.
поэтому наибольший общий делитель действительно равен 6.
и 
кратны 7, то кратна 7 и их разность 9(b − c), поэтому b − c делится на 7. Аналогично a − c делится на 7. Но для каждой цифры найдется не более одной такой, разность с которой будет кратна 7.
тогда наибольший общий делитель равен 18.
Если x делится на 3, но не на 9, то 3(a − b) и 3(b − c) кратны x, поэтому 
Более того, если y = 4, то в предыдущем неравенстве должно быть равенство, поэтому 
откуда a = 1, b = 5, c = 9, но тогда a + b + c не кратно 9. Если y = 1 или y = 2, то 
поэтому 
то есть 
и 
Это дает варианты 1, 4, 7; 2, 5, 8 и 3, 6, 9, из которых лишь в последнем сумма цифр кратна 9. Но, как нетрудно убедиться, число 963 не кратно 27, поэтому набора с наибольшим общим делителем 27 все же не существует.