Ост­рый угол B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равен 61°. Най­ди­те угол между вы­со­той CH и бис­сек­три­сой CD, про­ведёнными из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 9. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 3 и 6, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ис­то­рии всего 40 би­ле­тов, в 16 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Смут­ное время". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме "Смут­ное время".

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

Функ­ция опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на ин­тер­ва­ле На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

За­ви­си­мость объeма спро­са q (еди­ниц в месяц) на про­дук­цию пред­при­я­тия-мо­но­по­ли­ста от цены p (тыс. руб.) задаeтся фор­му­лой Вы­руч­ка пред­при­я­тия за месяц r (в тыс. руб.) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Опре­де­ли­те наи­боль­шую цену p, при ко­то­рой ме­сяч­ная вы­руч­ка со­ста­вит не менее 210 тыс. руб. Ответ при­ве­ди­те в тыс. руб.

Первую треть трас­сы ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/⁠ч, вто­рую треть  — со ско­ро­стью 120 км/⁠ч, а по­след­нюю  — со ско­ро­стью 110 км/⁠ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/⁠ч.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щее от­рез­ку

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 5, а его вы­со­та равна 12. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние  — рав­но­бед­рен­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны сто­ро­ны AC = 12, BC = 5. Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром O на сто­ро­не BC про­хо­дит через вер­ши­ну C. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ка­те­та AC, ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка, а также внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти мень­ше, чем длины ка­те­та AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число очень счаст­ли­вым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си раз­лич­ны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. На­при­мер, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а)  Су­ще­ству­ют ли де­сять по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзнач­ных чисел, среди ко­то­рых есть два очень счаст­ли­вых?

б)  Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел рав­нять­ся 2015?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа.

При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На гра­фи­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­че­но время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси  — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, за сколь­ко часов на­пря­же­ние упадёт с 1,2 воль­та до 1 воль­та.

Налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% от за­ра­бот­ной платы. За­ра­бот­ная плата Ивана Кузь­ми­ча равна 17 500 руб­лей. Какую сумму он по­лу­чит после вы­че­та на­ло­га на до­хо­ды? Ответ дайте в руб­лях.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 × 1 от­ме­че­ны две точки A и B. Най­ди­те длину от­рез­ка AB.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

15 ян­ва­ря Алек­сей пла­ни­ру­ет взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 2 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та сле­ду­ю­щие:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

  — платёж дол­жен вно­сить­ся один раз в месяц, со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца раз­мер долга дол­жен со­от­вет­ство­вать долгу, ука­зан­но­му в таб­ли­це.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма пла­те­жей боль­ше 3 млн руб­лей.