В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC  =  24, BC  =  7. Най­ди­те

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около сферы ра­ди­у­са 16. Най­ди­те его объём.

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем 11 сумок из 160 имеют скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся без де­фек­тов. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

Най­ди­те если  и

Ма­те­ри­аль­ная точка M на­чи­на­ет дви­же­ние из точки A и дви­жет­ся по пря­мой на про­тя­же­нии 12 се­кунд. Гра­фик по­ка­зы­ва­ет, как ме­ня­лось рас­сто­я­ние от точки A до точки M со вре­ме­нем. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время t в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат  — рас­сто­я­ние s.

Опре­де­ли­те, сколь­ко раз за время дви­же­ния ско­рость точки M об­ра­ща­лась в ноль (на­ча­ло и конец дви­же­ния не учи­ты­вай­те).

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му где P  — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в ват­тах),   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T  — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти не­ко­то­рой звез­ды равна м а мощ­ность её из­лу­че­ния равна Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в кель­ви­нах.

На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6. На ребре AB от­ме­че­на точка K так, что AK : KB  =  5 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды де­лит­ся плос­ко­стью MKC в от­но­ше­нии 5 : 1.

б)  Се­че­ние MKC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком с ос­но­ва­ни­ем MK. Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

Точка О₁  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС, а точка О₂  — центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ос­но­ва­ния ВС.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка О₁О₂ до точки С вдвое мень­ше О₁О₂.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти в пять раз мень­ше ра­ди­у­са вто­рой. В каком от­но­ше­нии точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с бо­ко­вой сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка делит эту сто­ро­ну?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а)  Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  19.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  23 и a² − b² + с² − d²  =  23?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1200 и a² − b² + с² − d²  =  1200. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат  — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

Спи­до­метр ав­то­мо­би­ля по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Какую ско­рость (в милях в час) по­ка­зы­ва­ет спи­до­метр, если ав­то­мо­биль дви­жет­ся со ско­ро­стью 36 км в час? (Счи­тай­те, что 1 миля равна 1,6 км.)

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ван круг пло­ща­дью 2,8. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра.