Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13.
а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.
б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.
Решение.
Спрятать критерии
Пусть сторона квадрата имеет длину 16. Введем систему координат с началом в точке B и осями, направленными по BC и 
Тогда получим:
Уравнения прямых можно выяснить по общей формуле:
Аналогично 
Вычислим теперь косинусы углов между этими прямыми:
Значит, углы равны.
б) Решим систему уравнений 
Из первого уравнения найдем 
и подставим во второе. Получим: 
откуда 
Тогда
Кроме того, 
поэтому 
Значит, 
Ответ:
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Треугольники