СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521235

Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К ответственно, причем  : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3:13.

а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.

б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.

Решение.

Выберем масштаб так, чтобы сторона квадрата имела длину и заведем координаты с началом в точке и осями, направленными по и Тогда получим:

Уравнения прямых можно выяснить по общей формуле:

Аналогично,

Вычислим теперь косинусы углов между этими прямыми:

 

Значит, углы равны.

б) Решим систему уравнений Из первого уравнения подставим во второе.

Тогда:

Кроме того, поэтому

 

Значит,

 

Ответ:.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 192.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники