РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 39043640

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABD равен 34.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Голландии и 6 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

Найдите корень уравнения $\log _2 левая круглая скобка 15 плюс x правая круглая скобка =\log _23.$

Найдите значение выражения $левая круглая скобка 2axy минус левая круглая скобка минус 2xya правая круглая скобка правая круглая скобка :4yax.$

На рисунке изображён график $y=f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8,$ $x_9,$ $x_10,$ $x_11.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ?$

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 15 градусовC,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m  =  0,4 кг/с. Проходя по трубе расстояние x метров, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 40 градусовC$ до температуры T, причем $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п, знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Вт умножить на с, знаменатель: кг умножить на градусовC конец дроби$   — теплоемкость воды, $гамма = 42 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусовC конец дроби$   — коэффициент теплообмена, а α  =  1,6  — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 64 метра.

Бизнесмен Печенов получил в 2000 году прибыль в размере 1 000 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 16% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Печенов за 2002 год?

Найдите наибольшее значение функции $y= минус дробь: числитель: 5x в квадрате плюс 12x, знаменатель: x конец дроби$ на отрезке [−10; −1].

10.  

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка \ctg x умножить на косинус 3x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус косинус 4x минус синус 3x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

11.  

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что прямая BD₁ перпендикулярна плоскости ACB₁.

б)  Найдите угол между плоскостями AD₁C₁ и A₁D₁C.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

12.  

Решите неравенство $2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 2.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

13.  

Строительство нового цеха по производству роботов-⁠пылесосов стоит 300 миллионов рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции на такой линии равны $0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100$ млн руб. в год. Если продукцию продавать по цене p тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $p x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка$ млн руб. Когда цех будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цеха цена продукции p  =  12 тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство цеха?

Решение. Строительство цеха окупится, когда суммарная прибыль за первые несколько лет окажется не меньше 300  млн  руб. Прибыль фирмы (в млн руб.) за первый год составит

$P_1=12 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 9 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 45 умножить на x минус 45 в квадрате плюс 45 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 45 правая круглая скобка в квадрате плюс 1025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 102,5.$ $P_1=12 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 9 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 45 умножить на x минус 45 в квадрате плюс 45 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 45 правая круглая скобка в квадрате плюс 1025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 102,5.$ $P_1=12 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка =$
$= минус 0,1 x в квадрате плюс 9 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 45 умножить на x минус 45 в квадрате плюс 45 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 45 правая круглая скобка в квадрате плюс 1025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 102,5.$

Из полученной оценки следует, что максимальная прибыль в первый год равна 102,5  млн  руб. Она достигается при выпуске 45 тыс. единиц продукции. Максимальная прибыль в первый год меньше потраченных на строительство 300 млн руб., поэтому за первый год строительство не окупится.

Прибыль фирмы (в млн руб.) за второй год составит

$P_2=13 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 10 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 50 умножить на x минус 50 в квадрате плюс 50 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс 1500, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 150.$ $P_2=13 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 10 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 50 умножить на x минус 50 в квадрате плюс 50 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс 1500, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 150.$ $P_2=13 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка =$
$= минус 0,1 x в квадрате плюс 10 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 50 умножить на x минус 50 в квадрате плюс 50 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс 1500, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 150.$

Таким образом, максимальная прибыль во второй год равна 150  млн  руб. Она достигается при выпуске 50 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые два года равна

$102,5 плюс 150=252,5$ млн руб.,

что меньше 300 млн руб., значит, за два года строительство не окупится.

Прибыль фирмы (в млн рублей) за третий год составит

$P_3=14 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 11 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 55 умножить на x минус 55 в квадрате плюс 55 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 55 правая круглая скобка в квадрате плюс 2025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 202,5.$ $P_3=14 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 11 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 55 умножить на x минус 55 в квадрате плюс 55 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 55 правая круглая скобка в квадрате плюс 2025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 202,5.$ $P_3=14 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка =$
$= минус 0,1 x в квадрате плюс 11 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 55 умножить на x минус 55 в квадрате плюс 55 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 55 правая круглая скобка в квадрате плюс 2025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 202,5.$

Следовательно, максимальная прибыль равна 202,5  млн  руб. Она достигается при выпуске 55 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые три года равна

$102,5 плюс 150 плюс 202,5=455$  млн руб.,

что превышает потраченные на строительство 300  млн  руб. Тем самым строительство окупится за три года.

Ответ: за три года.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

14.  

На окружности ω отмечены точки M, N, K таким образом, что MN  — диаметр, а K  — середина дуги MN. Точка E  — середина хорды MK. Точка B  — середина дуги KN, не содержащей точку M. Через точку E проведена хорда AB.

а)  Докажите, что $AE:BE=1:3.$

б)  В окружность ω вписан прямоугольник ABCD. Найдите его площадь, если $MN=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 3x минус a конец аргумента =x$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = 0	3
В решении верно найдены корни $x=1$ при $a\le3$ и $x= дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 9 минус 4a, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2$ при $a\le0,$ возможно с учётом принадлежности корня указанному отрезку: $x=0$ при $a=0$ ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки	2
В решении верно найден один из корней $x=1$ при $a\le3$ или $x= дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 9 минус 4a, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2$ при $a\le0,$ возможно с учётом принадлежности корня указанному отрезку: $x=0$ при $a=0$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

16.  

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что полученные суммы образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

а)  Могло ли быть 7 кучек?

б)  Могло ли быть 9 кучек?

в)  Какое наибольшее количество кучек могло быть?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

17.  

На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали  — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.

18.  

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

19.  

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 $\times$ 1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	27934	1,5
2	509920	102
3	502989	0,2
4	2685	-12
5	66541	1
6	658687	6
7	697025	27,5
8	112207	1345600
9	530556	38
10	561447	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$
11	513264	$60 в степени o .$
12	512460	$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$
13	633982	за три года.
14	627185	б) $21 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
15	517488	$a меньше 0;0 меньше a\leqslant3.$
16	514573	а)  да; б)  нет; в)  16.
17	28765	2
18	26643	10875
19	689025	5

Ключ