РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 39043640

Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 15. Тангенс острого угла равен  $дробь: числитель: 11, знаменатель: 13 конец дроби .$ Найдите высоту трапеции.

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.

Найдите корень уравнения $дробь: числитель: 1, знаменатель: 7x плюс 13 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 5 конец дроби .$

Найдите значение выражения $корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента косинус в квадрате дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество решений уравнения $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке [0; 8].

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 60$  В и внутренним сопротивлением $r = 0,8$  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби .$ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 14 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби$ на отрезке $левая квадратная скобка 1;10 правая квадратная скобка .$

10.  

а)  Решите уравнение $синус 3x умножить на косинус 4x=1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

11.  

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.

а)  Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

12.  

Решите неравенство $2 в степени x плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка \leqslant4.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

13.  

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

14.  

Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.

а)  Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б)  Найдите высоту трапеции.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Найдите все значения a, при которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента =|x плюс a минус 5| плюс |x минус a плюс 5|$

имеет единственное решение.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены оба значения a, но решение недостаточно обосновано. ИЛИ Обоснованно получено одно из значений a, удовлетворяющее условию.	3
Получены все значения a, при которых число 0  — решение уравнения.	2
Установлено, что при выполнении условий задачи число 0  — решение уравнения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

16.  

Коля играет солдатиками из двух разных наборов. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше чем 50. А всего солдатиков у Коли меньше 120. Коля знает, что может построить колонну по несколько солдатиков в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдатиков, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдатиков из разных наборов.

а)  Сколько солдатиков может быть в первом наборе и сколько во втором? Приведите один пример.

б)  Может ли Коля построить колонну указанным способом по 11 солдатиков в ряд?

в)  Сколько всего солдатиков может быть у Коли? Укажите все возможные варианты.

Решение. Пусть в первом наборе k солдатиков, во втором l солдатиков. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 8, и при этом

$система выражений 50 меньше k меньше l, k плюс l меньше или равно 119. конец системы .$

а)  Например, 54 и 63 солдатика. Вместе солдатиков 117, их можно построить в колонну по 9 солдатиков в ряд так, что 6 рядов будет заполнено солдатиками только из первого набора, а 7 рядов  — только из второго.

б)  Предположим, что общий делитель равен 11. Тогда, учитывая, что $50 меньше k меньше 60,$ получаем, что $k = 55.$ Наименьшее возможное значение l равно $55 плюс 11=66,$ но вместе получается 121 солдатик, что противоречит условию.

в)  Число $l минус k$ больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому $l минус k больше или равно 8;k минус l меньше или равно минус 8,$ что вместе с условием $k плюс l меньше или равно 119$ приводит к неравенству $2k меньше или равно 111,$ то есть $k меньше или равно 55.$ При этом

$k плюс d меньше или равно l меньше или равно 119 минус k,$

где d  — наименьший общий делитель, превосходящий 7.

Если $k=51,$ то $d=17,l=68,$ а в наборах всего 119 солдатиков.

Если $k=52,$ то $65 меньше или равно l\leqslant67.$ Тогда $l=65,$ общий делитель равен 13 и $k плюс l=117.$

Если $k=53,$ то $53 плюс 53=106 меньше или равно l меньше или равно 66.$ Противоречие.

Если $k=54,$ то $54 плюс 9=63 меньше или равно l\leqslant65.$ Тогда $l=63,$ общий делитель равен 9 и в наборах всего 117 солдатиков.

Если $k=55,$ то $66 меньше или равно l\leqslant64,$ но числа 64 и 55 взаимно просты. Противоречие.

Ответ: а) Например, 54 и 63; б) нет; в) 117 или 119.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

17.  

На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке алюминия занимал Бахрейн, десятое место  — Новая Зеландия. Какое место занимала Исландия?

18.  

Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

19.  

На клетчатой бумаге с размером клетки $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: Пи конец аргумента конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: Пи конец аргумента конец дроби см$ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	45789	5,5
2	270143	1
3	286383	0,05
4	315429	-6
5	282605	4,5
6	522964	3
7	42307	8,8
8	109105	133
9	77469	10
10	553829	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$
11	501690	$85 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
12	515802	$левая квадратная скобка 0; логарифм по основанию 2 3 правая квадратная скобка .$
13	513609	7 млн рублей.
14	680516	б) $дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$
15	514129	3; 7.
16	555624	а) Например, 54 и 63; б) нет; в) 117 или 119.
17	514014	3
18	77355	9
19	250945	17,5

Ключ