PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.
Диаметр основания конуса равен 144, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график некоторой функции 
Функция 
— одна из первообразных функции 
Найдите площадь закрашенной фигуры.
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на нее выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле FА = αρgr3, где α = 3,1 — постоянная, r — радиус сферы в метрах, ρ = 1000 кг/м3 — плотность воды, а g = 10 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 837 000 Н.
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 
Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 
L — середина ребра MB.
а) Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Решите неравенство 
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –32. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10 странах мира (в миллионах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выбросу углекислого газа в атмосферу занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимал Китай?
Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 45 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа.
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите наименьшее значение функции 
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20%;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017-2019 долг остаётся S
− в 2020, 2021 выплаты по 360 тыс. руб.
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
график которой изображён на рисунке.
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции 
оси абсцисс. Имеем:
при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:
минут.
б) 
как диагонали квадрата. Кроме того, 
Поэтому, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, 
MO — высота пирамиды 
Тогда OL — средняя линия треугольника BDM, следовательно, 
Поэтому 
По условию 
Далее, из прямоугольного треугольника AOL находим: 
поскольку OL — средняя линия треугольника 
Далее, из прямоугольного треугольника MOD находим искомую высоту MO пирамиды MABCD:
тогда
Вернемся к исходной переменной:
тогда 
Отсюда
Что и требовалось доказать.
Значит, 
Следовательно,
тогда исходное уравнение примет вид
является решением данного уравнения при некотором значении параметра a, то и 
также будет являться его решением при том же значении 
Это означает, что уравнение может иметь единственное решение, только в том случае, если 
Тогда исходное уравнение примет вид
следовательно, 
и оно имеет единственное решение 
удовлетворяющее условию 
Следовательно, 
удовлетворяет условию задачи.
единственное решение 
и это не меньше максимального числа на синих картах, которое кратно 5. Следовательно, 
и не меньше n, то есть верно
см. Поэтому
см2.
