Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 545525

При каких значениях b неравенство

x в квадрате плюс левая круглая скобка 2a плюс 4b правая круглая скобка x плюс 2a в квадрате b плюс 4b в квадрате минус 2ab минус 6b плюс 15\leqslant0

не имеет решений ни при одном значении a?

Спрятать решение

Решение.

Неравенство вида x в квадрате плюс mx плюс n\leqslant0 не имеет решений тогда и только тогда, когда соответствующее ему уравнение x в квадрате плюс mx плюс n=0 не имеет корней. Найдем четверть дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего в левой части исходного неравенства:

 дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = левая круглая скобка a плюс 2b правая круглая скобка в квадрате минус 2a в квадрате b минус 4b в квадрате плюс 2ab плюс 6b минус 15= левая круглая скобка 1 минус 2b правая круглая скобка a в квадрате плюс 6ba плюс 6b минус 15.

Значит, исходное неравенство не имеет решений ни при одном значении a, если для любого a верно неравенство

 левая круглая скобка 1 минус 2b правая круглая скобка a в квадрате плюс 6ba плюс 6b минус 15 меньше 0. левая круглая скобка * правая круглая скобка

Рассмотрим три случая.

1 случай. Если 1 минус 2b больше 0, то неравенство (⁎) является квадратным неравенством относительно a, с положительным старшим коэффициентом, а значит, оно не может быть верным для любого a.

2 случай. Если 1 минус 2b=0, то неравенство (⁎) примет вид 3a минус 12 меньше 0, что также не является верным для любого a.

3 случай. Если 1 минус 2b меньше 0, то неравенство (⁎) является квадратным неравенством относительно a, с отрицательным старшим коэффициентом. Оно верно для любого a, если дискриминант соответствующего уравнения отрицателен.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений ни при одном значении a тогда и только тогда, когда совместна система

 система выражений 1 минус 2b меньше 0,9b в квадрате минус левая круглая скобка 1 минус 2b правая круглая скобка левая круглая скобка 6b минус 15 правая круглая скобка меньше 0 конец системы . равносильно система выражений b больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,21b в квадрате минус 36b плюс 15 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений b больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,7b в квадрате минус 12b плюс 5 меньше 0 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений b больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка 7b минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка меньше 0 конец системы . равносильно система выражений b больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби меньше b меньше 1 конец системы . равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби меньше b меньше 1.

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби ;1 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев