Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 545520
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус x плюс ко­си­нус x плюс ко­си­нус 2x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При­ме­ним фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла, по­лу­чим в пра­вой части урав­не­ния

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 синус 2x ко­си­нус 2x = синус 2x ко­си­нус 2x.

Пе­ре­не­сем вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую, при­ме­ним фор­му­лу ко­си­нус 2x = ко­си­нус в квад­ра­те минус синус в квад­ра­те x:

синус x плюс ко­си­нус x плюс ко­си­нус 2x минус синус 2x ко­си­нус 2x = синус x плюс ко­си­нус x плюс ко­си­нус 2x левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =

= синус x плюс ко­си­нус x плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус x ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь за­ме­тим, что

1 минус 2 синус x ко­си­нус x = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x минус 2 синус x ко­си­нус x = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те

и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

синус x плюс ко­си­нус x плюс левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка \times
\times левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка .

Далее имеем:

ко­си­нус x плюс синус x = 0 рав­но­силь­но тан­генс x = минус 1 рав­но­силь­но x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z

или

левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = минус 1 рав­но­силь­но ко­си­нус x минус синус x = минус 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус Пи плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном от­рез­ке лежат корни минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k: k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 313. (Часть C)
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, За­ме­на пе­ре­мен­ной, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли, Све­де­ние к од­но­род­но­му, Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025