Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 545520

а)  Решите уравнение  синус x плюс косинус x плюс косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 4x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а)  Применим формулу синуса двойного угла, получим в правой части уравнения

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 4x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 синус 2x косинус 2x = синус 2x косинус 2x.

Перенесем выражение из правой части в левую, применим формулу  косинус 2x = косинус в квадрате минус синус в квадрате x:

 синус x плюс косинус x плюс косинус 2x минус синус 2x косинус 2x = синус x плюс косинус x плюс косинус 2x левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка =

= синус x плюс косинус x плюс левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 синус x косинус x правая круглая скобка .

Теперь заметим, что

1 минус 2 синус x косинус x = косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x = левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате

и разложим на множители:

 синус x плюс косинус x плюс левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в кубе правая круглая скобка .

Далее имеем:

 косинус x плюс синус x = 0 равносильно тангенс x = минус 1 равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z

или

 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в кубе = минус 1 равносильно косинус x минус синус x = минус 1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби равносильно

 равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус Пи плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z .

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). На заданном отрезке лежат корни  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения