Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 545522

Решите неравенство 3 умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка минус 48 умножить на 2 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 32.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

2 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,

 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате ,

и введём замену t= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка . Тогда

3t в квадрате минус 48t больше или равно 2t минус 32 равносильно 3t левая круглая скобка t минус 16 правая круглая скобка \geqslant2 левая круглая скобка t минус 16 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка t минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,t\geqslant16. конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной и прологарифмируем неравенства по основанию 2, при этом знак неравенства не меняется:

 совокупность выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка \geqslant16 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 16 конец совокупности . равносильно совокупность выражений \log в квадрате _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 левая круглая скобка * правая круглая скобка ,\log в квадрате _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant4. конец совокупности .

Правая часть неравенства (⁎) отрицательна, а левая  — неотрицательна, поэтому неравенство (⁎) решений не имеет. Решим второе неравенство:

\log в квадрате _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant4 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно

 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно минус 2, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x плюс 1 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x плюс 1\geqslant4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 1 меньше x меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,x\geqslant3. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)