Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 545524

Фирма по производству мебели выпускает две модели спальных гарнитуров  — А и В. Их производство ограничено наличием сырья (качественных досок) и временем машинной обработки. Для изготовления гарнитура модели А требуется 24 м2 досок и 5 часов машинного времени, а для модели В  — 40 м2 досок и 11 часов машинного времени. Фирма может получить от поставщика до 600 м2 досок в неделю. Возможное время работы машин, имеющихся в распоряжении фирмы, составляет 140 часов в неделю. Изготовление гарнитура модели А приносит фирме 5000 рублей дохода, а модели В  — 9000 рублей дохода. Сколько гарнитуров каждой модели следует выпускать фирме в неделю, чтобы прибыль фирмы была как можно больше?

Спрятать решение

Решение.

Пусть фирма будет выпускать x гарнитуров модели A, и y гарнитуров модели B, где x и y  — неотрицательные целые числа. Тогда справедлива система неравенств

 система выражений 24x плюс 40y\leqslant600,5x плюс 11y\leqslant140. конец системы .

Требуется найти при каких значениях x и y прибыль (в тыс. руб.) S=5x плюс 9y будет наибольшей.

Преобразуем первое неравенство системы:

24x плюс 40y\leqslant600 равносильно 3x плюс 5y меньше или равно 75 равносильно 3x меньше или равно 75 минус 5y равносильно x меньше или равно 25 минус дробь: числитель: 5y, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 5x меньше или равно 125 минус дробь: числитель: 25y, знаменатель: 3 конец дроби равносильно

 равносильно 5x плюс 9y меньше или равно 125 плюс дробь: числитель: 2y, знаменатель: 3 конец дроби .

Преобразуем второе неравенство системы:

5x плюс 11y\leqslant140 равносильно 5x меньше или равно 140 минус 11y равносильно 5x плюс 9y меньше или равно 140 минус 2y.

Получаем, что

 система выражений S\leqslant125 плюс дробь: числитель: 2y, знаменатель: 3 конец дроби ,S меньше или равно 140 минус 2y. конец системы .

Выясним при каком значении y правые части неравенств равны:

125 плюс дробь: числитель: 2y, знаменатель: 3 конец дроби =140 минус 2y равносильно 8y=45 равносильно y=5,625.

Значит, при y\leqslant5 наибольшее значение S ограничивается первым неравенством, а при y\geqslant6  — вторым. Рассмотрим все возможные значения, учитывая целочисленность всех переменных.

Если y=5, то S=9 умножить на 5 плюс 5x\leqslant128\tfrac13. Тогда в силу кратности 5 наибольшее значение S не превышает 125.

Если y=4, то S=9 умножить на 4 плюс 5x\leqslant127\tfrac23. Тогда 35 плюс 5x меньше или равно S_max минус 1, и в силу кратности 5 наибольшее значение S не превышает 126.

Если y=3, то S=9 умножить на 3 плюс 5x\leqslant127. Тогда при x=20 наибольшее значение S равно 127.

Если y меньше 3, то S меньше 127.

Если y=6, то S=9 умножить на 6 плюс 5x\leqslant128. Тогда55 плюс 5x меньше или равно S_max плюс 1 и наибольшее значение S в силу кратности 5 не превышает 124.

Если y\geqslant7, то S\leqslant126.

Таким образом, наибольшая прибыль фирмы будет равна 127 тыс. руб. при выпуске 20 гарнитуров модели A и 3 гарнитуров модели B.

 

Ответ: 20 гарнитуров модели A и 3 гарнитура модели B.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)