PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 545520 
Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Замена переменной, Разложение на множители, Сведение к однородному, Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применим формулу синуса двойного угла, получим в правой части уравнения
Перенесем выражение из правой части в левую, применим формулу 
Теперь заметим, что
и разложим на множители:
Далее имеем:
или
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). На заданном отрезке лежат корни 
и 
Ответ: а)
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 545520
а) б)
б) Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Замена переменной, Разложение на множители, Сведение к однородному, Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
следовательно, треугольники AED и ABC подобны с коэффициентом подобия 
и AD = ED = AE = 4. Пусть L' — это проекция L на плоскость ABC, при этом L' принадлежит AO, где O — это центр основания. Точка O лежит на ED, так как делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Треугольники ALL' и AMO подобны с коэффициентом подобия 
Тогда 
что и требовалось доказать.
откуда 
Тогда
Таким образом, 
таким образом, треугольники MHN и NLR подобны. Тогда 
будет наибольшей.
наибольшее значение S ограничивается первым неравенством, а при 
— вторым. Рассмотрим все возможные значения, учитывая целочисленность всех переменных.
то 
Тогда в силу кратности 5 наибольшее значение S не превышает 125.
то 
Тогда 
и в силу кратности 5 наибольшее значение S не превышает 126.
то 
Тогда при 
наибольшее значение S равно 127. 
то 
то 
Тогда
и наибольшее значение S в силу кратности 5 не превышает 124.
то 
не имеет решений тогда и только тогда, когда соответствующее ему уравнение 
не имеет корней. Найдем четверть дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего в левой части исходного неравенства: 
то неравенство (⁎) является квадратным неравенством относительно a, с положительным старшим коэффициентом, а значит, оно не может быть верным для любого a.
то неравенство (⁎) примет вид 
что также не является верным для любого a.
то неравенство (⁎) является квадратным неравенством относительно a, с отрицательным старшим коэффициентом. Оно верно для любого a, если дискриминант соответствующего уравнения отрицателен.
тогда из условия получаем:
откуда 
Таким образом, a = 2. Значит, Sb = 49, следовательно, t = 6. Имеем:
Аналогично пункту б) получаем, что 52 − a кратно 10 и a < 11. Тогда верна система уравнений
— тоже вырос на 10%.