Ре­ше­ние. а)  При усло­вии ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щим:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти, под­хо­дят и 0.

Ответ: а) б) 0.

Ре­ше­ние. а)  Пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой SB. Сто­ро­на MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASB, AN  =  NB и точка Тогда в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке OAB сто­ро­на ON яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на ON  — бис­сек­три­са угла AOB.

б)  Пусть H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки M на плос­кость ос­но­ва­ния. Таким об­ра­зом, MN лежит в плос­ко­сти OSA и H  — се­ре­ди­на AO. В тре­уголь­ни­ке OBA на­хо­дим По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да

Пусть   — угол между сто­ро­ной BM и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Тогда

от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ко­рень су­ще­ству­ет на от­рез­ке [1; 5]. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство на этом мно­же­стве: при­ве­дем к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис.):

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  В па­рал­ле­ло­грам­ме ABKD диа­го­наль AK яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, сле­до­ва­тель­но, ABKD  — ромб. Таким об­ра­зом, AK пер­пен­ди­ку­ляр­на BD по свой­ству диа­го­на­лей ромба.

б)  Тре­уголь­ни­ки TCK и TDA по­доб­ны по двум углам, от­ку­да Тогда

Далее, Най­дем вы­со­ту тра­пе­ции: Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна 8S млн руб. По­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент равен Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

Номер года	Долг в ян­ва­ре (с уче­том про­цен­тов), млн руб.	Платёж, млн руб.	Долг в июле (после пла­те­жа), млн руб.
1
2
3			S
4
5
6

Сум­ми­ру­ем все вы­пла­ты:

Из усло­вия, что общая сумма вы­плат равна 1,6 млн руб., найдём S:

Тогда из­на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна

Ответ: 1,28 млн руб.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде

Урав­не­ние про­во­дит­ся к при усло­вии и за­да­ет верх­нюю по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в

Урав­не­ние при­во­дит­ся к при усло­вии и за­да­ет верх­нюю по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в Ее центр пе­ре­ме­ща­ет­ся по пря­мой

Две «верх­ние» по­лу­окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо сов­па­да­ют. Сов­па­да­ют они, оче­вид­но, при

При край­няя точка пер­вой по­лу­окруж­но­сти лежит на вто­рой, а при на­о­бо­рот - край­няя точка вто­рой лежит на пер­вой. От­сю­да по­лу­ча­ем ответ

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 521403.

Ре­ше­ние. Будем го­во­рить, что каж­дый сле­ду­ю­щий член по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го де­ле­ни­ем на 2 или уве­ли­че­ни­ем на 150.

а)  Да, на­при­мер, 2400, 1200, 600, 300, 150, 300, 150, 300, ...

б)  Оче­вид­но, что если какой-то член про­грес­сии не­че­тен, то его нель­зя по­де­лить на 2. Тогда при­дет­ся для по­лу­че­ния сле­ду­ю­ще­го члена при­ба­вить 150, и он тоже будет не­че­тен. Сле­до­ва­тель­но? при не­чет­ном пер­вом члене все сле­ду­ю­щие члены будут не­чет­ны и по­сле­до­ва­тель­ность ста­нет ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с общим чле­ном

в)  Сразу ясно, что по­сле­до­ва­тель­ность 160, 80, 40, 20, 10, 160, ... удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и имеет наи­боль­ший член 160, по­это­му по­сле­до­ва­тель­но­сти, в ко­то­рых по­па­да­ют­ся члены, боль­шие 160, рас­смат­ри­вать не имеет смыс­ла.

Если пер­вый член про­грес­сии не пре­вос­хо­дит 160, то по­де­лить на 2 удаст­ся не более 8 раз. Зна­чит, в пер­вых де­ся­ти чле­нах точно слу­чит­ся уве­ли­че­ние на 150. Если после этого по­лу­чит­ся не­чет­ное число, то даль­ше при­дет­ся толь­ко при­бав­лять 150, и самое боль­шое число будет не мень­ше, чем

Те­перь раз­бе­рем слу­чаи, на­чи­ная с пер­во­го при­бав­ле­ния 150. При­бав­лять 150 два­жды под­ряд нель­зя, по­сколь­ку ре­зуль­тат будет боль­ше 300. Итак:

Тем самым любое чет­ное число от 152 до 158 при­во­дит к числу, боль­ше­му 160. Зна­чит, 160 и есть ответ.

Ответ: а) да, б) 14 925, в) 160.