Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 539885

Последовательность левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше его на 150.

а) Может ли такая последовательность быть образована ровно пятью различными числами?

б) Чему может равняться a_100, если a_1=75?

в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?

Спрятать решение

Решение.

Будем говорить, что каждый следующий член получается из предыдущего делением на 2 или увеличением на 150.

а) Да, например, 2400, 1200, 600, 300, 150, 300, 150, 300, ...

б) Очевидно, что если какой-то член прогрессии нечетен, то его нельзя поделить на 2. Тогда придется для получения следующего члена прибавить 150, и он тоже будет нечетен. Следовательно? при нечетном первом члене все следующие члены будут нечетны и последовательность станет арифметической прогрессией с общим членом a_100=75 плюс 99 умножить на 150=14925.

в) Сразу ясно, что последовательность 160, 80, 40, 20, 10, 160, ... удовлетворяет условию задачи и имеет наибольший член 160, поэтому последовательности, в которых попадаются члены, большие 160, рассматривать не имеет смысла.

Если первый член прогрессии не превосходит 160, то поделить на 2 удастся не более 8 раз. Значит, в первых десяти членах точно случится увеличение на 150. Если после этого получится нечетное число, то дальше придется только прибавлять 150, и самое большое число будет не меньше, чем 1 плюс 150 умножить на 89 больше 160.

Теперь разберем случаи, начиная с первого прибавления 150. Прибавлять 150 дважды подряд нельзя, поскольку результат будет больше 300. Итак:

          152\mapsto 76\mapsto 38\mapsto 188 больше 160

          152\mapsto 76\mapsto 226 больше 160

          154\mapsto 77\mapsto 227 больше 160

          156\mapsto 78\mapsto 39\mapsto 189 больше 160

          156\mapsto 78\mapsto 38\mapsto 188 больше 160

          158\mapsto 79\mapsto 229 больше 160

Тем самым любое четное число от 152 до 158 приводит к числу, большему 160. Значит, 160 и есть ответ.

 

Ответ: а) да, б) 14 925, в) 160.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 526221: 527270 539885 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 308. (Часть C)
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии