Будем го­во­рить, что каж­дый сле­ду­ю­щий член по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го де­ле­ни­ем на 2 или уве­ли­че­ни­ем на 150.

а)  Да, на­при­мер, 2400, 1200, 600, 300, 150, 300, 150, 300, ...

б)  Оче­вид­но, что если какой-то член про­грес­сии не­че­тен, то его нель­зя по­де­лить на 2. Тогда при­дет­ся для по­лу­че­ния сле­ду­ю­ще­го члена при­ба­вить 150, и он тоже будет не­че­тен. Сле­до­ва­тель­но? при не­чет­ном пер­вом члене все сле­ду­ю­щие члены будут не­чет­ны и по­сле­до­ва­тель­ность ста­нет ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с общим чле­ном

в)  Сразу ясно, что по­сле­до­ва­тель­ность 160, 80, 40, 20, 10, 160, ... удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и имеет наи­боль­ший член 160, по­это­му по­сле­до­ва­тель­но­сти, в ко­то­рых по­па­да­ют­ся члены, боль­шие 160, рас­смат­ри­вать не имеет смыс­ла.

Если пер­вый член про­грес­сии не пре­вос­хо­дит 160, то по­де­лить на 2 удаст­ся не более 8 раз. Зна­чит, в пер­вых де­ся­ти чле­нах точно слу­чит­ся уве­ли­че­ние на 150. Если после этого по­лу­чит­ся не­чет­ное число, то даль­ше при­дет­ся толь­ко при­бав­лять 150, и самое боль­шое число будет не мень­ше, чем

Те­перь раз­бе­рем слу­чаи, на­чи­ная с пер­во­го при­бав­ле­ния 150. При­бав­лять 150 два­жды под­ряд нель­зя, по­сколь­ку ре­зуль­тат будет боль­ше 300. Итак:

Тем самым любое чет­ное число от 152 до 158 при­во­дит к числу, боль­ше­му 160. Зна­чит, 160 и есть ответ.

Ответ: а) да, б) 14 925, в) 160.