Ре­ше­ние. а)  Сде­ла­ем за­ме­ну и пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)   Корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти. За­ме­тим, что тогда а Под­хо­дит толь­ко ко­рень

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. а)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, свя­зан­ную с па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. Пусть AB = t, а на­ча­ло ко­ор­ди­нат на­хо­дит­ся в точке B(0, 0, 0). Тогда D(t, 2t, 3t) и на­прав­ля­ю­щий век­тор пря­мой BD есть Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти BDC₁, про­хо­дя­щей через точку B (0, 0, 0) и, зна­чит, име­ю­щей вид Эта плос­кость про­хо­дит через точки D(t, 2t, 0) и C₁(0, 2t, 3t), от­ку­да Тогда a = 6, b = −3, c = 2, а зна­чит, век­тор нор­ма­ли к плос­ко­сти BDC₁ имеет ко­ор­ди­на­ты Най­дем синус угла между BO₁ и BDC₁. Для этого вы­чис­лим

Таким об­ра­зом, угол между BO₁ и BDC₁ равен

б)  Плос­кость AA₁D  — грань, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ребру AB. Сле­до­ва­тель­но, век­тор ее нор­ма­ли Найдём ко­си­нус угла между AA₁D и BDC₁:

Ответ: a)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что зна­че­ния не вхо­дят в ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства. При по­лу­ча­ем, что и ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

За­ме­тим также, что зна­че­ния не вхо­дят в ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства. При для ос­но­ва­ния ло­га­риф­ма спра­вед­ли­ва оцен­ка и не­ра­вен­ство рав­но­силь­но сле­ду­ю­ще­му:

Пе­ре­несём еди­ни­цу в левую часть, при­ведём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции:

*) Выше мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что на ОДЗ знак раз­но­сти двух по­ло­жи­тель­ных функ­ций сов­па­да­ет со зна­ком раз­но­сти их квад­ра­тов, а по­то­му на ин­тер­ва­ле (0; 6) сов­па­да­ют знаки вы­ра­же­ний и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABD, ка­са­ет­ся AD в точке K и AB в точке P. И пусть окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник BDC, ка­са­ет­ся BC в точке L и DC в точке T. По свой­ству ка­са­тель­ных, BM = BP, AP = AK, DM = DK, сле­до­ва­тель­но,

Ана­ло­гич­но BL = BN, CL = CT, DN = DT, от­ку­да

Тогда для ис­ко­мой длины по­лу­ча­ем:

б)  Пусть r₁  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, r₂  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCD. Тогда За­ме­тим, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD равна двум пло­ща­дям BDC. По­лу­чим:

Ответ: a)

Ре­ше­ние. Пусть кре­дит взят на n ме­ся­цев, сумма кре­ди­та равна S = 600 000 руб. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

Номер ме­ся­ца	Долг в на­ча­ле ме­ся­ца (с уче­том про­цен­тов), руб.	Платёж, руб.	Долг на 15-е число (после пла­те­жа), руб.
			S
1
2
...	...	...	...
	...	...
n

Сум­ми­ру­ем все вы­пла­ты:

Найдём раз­ность между сум­ма­ми вы­плат при раз­ных сро­ках кре­ди­та:

Ответ: на 36 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль по опре­де­ле­нию:

Изоб­ра­зим ре­ше­ние по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти двух си­стем на плос­ко­сти xOa. Гра­фи­ком пер­вой си­сте­мы яв­ля­ют­ся участ­ки пря­мой ле­жа­щие ниже па­ра­бо­лы Гра­фи­ком вто­рой си­сте­мы  — часть па­ра­бо­лы ле­жа­щая выше па­ра­бо­лы Пусть вер­ши­на па­ра­бо­лы   — точка с ко­ор­ди­на­та­ми а точки пе­ре­се­че­ния этой па­ра­бо­лы с па­ра­бо­лой суть точки и Найдём эти ко­ор­ди­на­ты.

Вер­ши­на па­ра­бо­лы:

Точки пе­ре­се­че­ния па­ра­бол:

Зна­чит, За­ме­тим, что

По­стро­им гра­фик ис­ход­но­го урав­не­ния (см. рис., вы­де­ле­но синим). По гра­фи­ку на­хо­дим, что при или урав­не­ние имеет один ко­рень, при или   — два корня, при   — три корня. Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет три корня при

Ответ:

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, ко­ли­че­ство со­труд­ни­ков де­лит­ся на 8 и на 9, а по­то­му де­лит­ся и на 72. Пусть в фирме всего N со­труд­ни­ков, тогда Зна­чит, в одном от­де­ле 9x со­труд­ни­ков, в дру­гом 210 со­труд­ни­ков, а в осталь­ных по 8x.

а)  Если от­де­лов боль­ше 9, то число ра­бот­ни­ков в них не менее что не­воз­мож­но.

б), в) Пусть име­ет­ся от­де­ла по 8x со­труд­ни­ков, тогда то есть а зна­чит, 210 крат­но 63 − 8y. Это воз­мож­но при y  =  6 или y  =  7.

При y  =  6 по­лу­ча­ем, что 210  =  15x, то есть x  =  14. Итак, есть один отдел в 126 че­ло­век, один  — в 210 че­ло­век и 6 от­де­лов по 112 че­ло­век.

При y  =  7 по­лу­ча­ем, что 210  =  7x, от­ку­да x  =  30. Итак, есть один отдел в 270 че­ло­век, один  — в 210 че­ло­век и 7 от­де­лов по 240 че­ло­век.

Ответ: а) Нет, б) 8 от­де­лов, в) 9 от­де­лов.

При­ме­ча­ние.

Если до­пу­стить, что от­де­лов, где ра­бо­та­ет по 1/9 со­труд­ни­ков, может не быть, то де­ли­мость на 9 ста­но­вит­ся не­обя­за­тель­ной, и по­яв­ля­ет­ся ва­ри­ант двух от­де­лов  — на 30 и 210 со­труд­ни­ков.