Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Вариант № 27393923

А. Ларин. Тренировочный вариант № 301.

1.

а) Решите уравнение  синус 2x плюс корень из 3 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка = 1,5.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .

2.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра АВ, точка Р — середина ребра ВС. Через точки K, P, D1 проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая — равнобокая трапеция.

б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью α, если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.

3.

Решите неравенство:  дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: \log _5 минус xx конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 5x минус 4 правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .

4.

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке K. Окружность, описанная около треугольника АКL, вторично пересекает прямую АС в точке Р.

а) Докажите, что отрезки ВС и РС равны.

б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС = 6, АВ = 5, АС = 4.

5.

15‐го декабря 2018 года Саша и Паша взяли в банке одинаковые суммы в кредит на 12 месяцев. Банк предложил им похожие схемы погашения долга.

Условия возврата кредита у Саши оказались следующие:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

— на 15‐е числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга, чем на 15‐е число предыдущего месяца.

У Паши условия возврата кредита были таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

— на 15‐е число каждого месяца с января по ноябрь включительно долг должен уменьшаться на 50 тыс. руб.;

— в декабре 2019 года весь оставшийся на тот момент долг должен быть полностью погашен.

Когда в декабре 2019 года Саша и Паша рассчитались со своими кредитами, выяснилось, что один из них выплатил за год банку на 429 тыс. руб. больше, нежели другой. Определите, какая сумма была взята каждым в кредит.

6.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений  новая строка дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате минус 2x плюс 2y минус 6, знаменатель: корень из 2 минус |y минус x| конец дроби =0,  новая строка y минус ax=3a минус 3  конец системы .

имеет ровно одно решение.

7.

Известно, что n и m — натуральные числа.

а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби ?

б) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: n в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби ?

в) Найдите все пары чисел n и m, для которых выполняется равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: n в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби .