Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 532056

15‐го декабря 2018 года Саша и Паша взяли в банке одинаковые суммы в кредит на 12 месяцев. Банк предложил им похожие схемы погашения долга.

Условия возврата кредита у Саши оказались следующие:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

— на 15‐е числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга, чем на 15‐е число предыдущего месяца.

У Паши условия возврата кредита были таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

— на 15‐е число каждого месяца с января по ноябрь включительно долг должен уменьшаться на 50 тыс. руб.;

— в декабре 2019 года весь оставшийся на тот момент долг должен быть полностью погашен.

Когда в декабре 2019 года Саша и Паша рассчитались со своими кредитами, выяснилось, что один из них выплатил за год банку на 429 тыс. руб. больше, нежели другой. Определите, какая сумма была взята каждым в кредит.

Спрятать решение

Решение.

Пусть суммы кредитов равны S тыс. руб., повышающий коэффициент k=1 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: 100 конец дроби =1,1. Составим таблицу по данным задачи для Саши.

 

Номер
месяца
Название
месяца
Долг на 1 число
(после начисления процентов),
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг на 15 число
(до начисления процентов),
тыс. руб.
декабрьS
1январьkSkS минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби S  дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби S
2февраль дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби kS  дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби kS минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби S  дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби S
...............
11ноябрь дробь: числитель: 2, знаменатель: 12 конец дроби kS  дробь: числитель: 2, знаменатель: 12 конец дроби kS минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби S  дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби S
12декабрь дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби kS  дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби kS минус 0 0

 

Сумма выплат для Саши равна:

В_С=kS минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби S плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби kS минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби S плюс ... плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 12 конец дроби kS минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби S плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби kS минус 0 =

= левая круглая скобка kS плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби kS плюс ... плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 12 конец дроби kS плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби kS правая круглая скобка минус левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби S плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби S плюс ... плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби S плюс 0 правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 13kS, знаменатель: 12 умножить на 2 конец дроби умножить на 12 минус дробь: числитель: 11S, знаменатель: 12 умножить на 2 конец дроби умножить на 12 = 6,5kS минус 5,5S.

Подставив значение k=1,1, получаем

В_С=6,5 умножить на 1,1S минус 5,5 умножить на S = 1,65S.

 

Составим аналогичную таблицу по данным задачи для Паши.

 

Номер
месяца
Название
месяца
Долг на 1 число
(после начисления процентов),
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг на 15 число
(до начисления процентов),
тыс. руб.
декабрьS
1январьkSkS минус S плюс 50S минус 50
2февральk левая круглая скобка S минус 50 правая круглая скобка k левая круглая скобка S минус 50 правая круглая скобка минус S плюс 100S минус 100
...............
11ноябрьk левая круглая скобка S минус 500 правая круглая скобка k левая круглая скобка S минус 500 правая круглая скобка минус S плюс 550S минус 550
12декабрьk левая круглая скобка S минус 550 правая круглая скобка k левая круглая скобка S минус 550 правая круглая скобка минус 00

 

Сумма выплат для Паши равна:

В_П=kS минус S плюс 50 плюс k левая круглая скобка S минус 50 правая круглая скобка минус S плюс 100 плюс ... плюс k левая круглая скобка S минус 500 правая круглая скобка минус S плюс 550 плюс k левая круглая скобка S минус 550 правая круглая скобка минус 0 =

= левая круглая скобка kS плюс k левая круглая скобка S минус 50 правая круглая скобка плюс ... плюс k левая круглая скобка S минус 500 правая круглая скобка плюс k левая круглая скобка S минус 550 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 11S плюс левая круглая скобка 50 плюс 100 плюс ... плюс 550 правая круглая скобка =

= дробь: числитель: kS плюс k левая круглая скобка S минус 550 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 минус 11S плюс дробь: числитель: 50 плюс 550, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 11 = 12kS минус 3300k минус 11S плюс 3300.

Подставив значение k=1,1, получаем

В_П=12 умножить на 1,1 умножить на S минус 3300 умножить на 1,1 минус 11 умножить на S плюс 3300=2,2S минус 330.

 

По условию один заплатил на 429 тыс. руб. больше другого. Значит,

|2,2S минус 330 минус 1,65S|=429 равносильно совокупность выражений 0,55S минус 330 =429,0,55S минус 330 = минус 429 конец совокупности . \undersetS больше 0\mathop равносильно S= 1380 тыс. руб.

 

Ответ: 1,38 млн руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301.
Классификатор алгебры: Банки, вклады, кредиты