ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 530386 Добавить в вариант

1 февраля 2018 года планируется взять кредит на сумму 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

—  1 марта каждого года сумма долга увеличивается на 2% по сравнению с началом года;

—  с 1 мая по 1 августа необходимо выплатить часть долга;

—  1 февраля каждого года долг должен равняться сумме в соответствии с таблицей.

Год	2018	2019	2020	...	2018 + n	2019 + n	2020 + n	...	2018 + 2n	2019 + 2n
Долг (тыс. руб)	1000	985	970	...	1000 − 15n	1000 − 15n − x	1000 − 15n − 2x	...	600	0

Первые n лет долг уменьшался равномерно на 15 тысяч рублей, а следующие n лет долг уменьшался равномерно на x тысяч рублей. В каком году планируется совершить последний платеж, если общая сумма выплат равна 1 346 000 рублей?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $S=1000000$ руб. Выплата за первый год составит $левая круглая скобка 0,02 умножить на S плюс 15 правая круглая скобка$ тыс. рублей. За второй год: $левая круглая скобка 0,02 умножить на левая круглая скобка S минус 15 правая круглая скобка плюс 15 правая круглая скобка$ тыс. рублей. За n-⁠й год: $левая круглая скобка 0,02 умножить на левая круглая скобка S минус 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 15 правая круглая скобка$ тыс. рублей. В итоге за первые n лет выплаты составят:

$n умножить на 15 плюс 0,02 умножить на левая круглая скобка S плюс S минус 15 плюс ... плюс S минус 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =n умножить на 15 плюс 0,02 умножить на дробь: числитель: 2S минус 15n плюс 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=$ $n умножить на 15 плюс 0,02 умножить на левая круглая скобка S плюс S минус 15 плюс ... плюс S минус 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=n умножить на 15 плюс 0,02 умножить на дробь: числитель: 2S минус 15n плюс 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=$

$=n умножить на левая круглая скобка 15 плюс 20 минус 0,15n плюс 0,15 правая круглая скобка =n умножить на левая круглая скобка 35,15 минус 0,15n правая круглая скобка$ тыс. рублей.

За следующие n лет выплаты составят:

$n умножить на x плюс 0,02 левая круглая скобка 1000 минус 15n плюс ... плюс 1000 минус 15n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка =$

$=n умножить на x плюс 0,02 умножить на дробь: числитель: 1000 минус 15n плюс 1000 минус 15n минус nx плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=$

$=n левая круглая скобка x плюс 20 минус 0,3n минус 0,01nx плюс 0,01x правая круглая скобка =n левая круглая скобка x левая круглая скобка 1,01 минус 0,01n правая круглая скобка плюс 20 минус 0,3n правая круглая скобка .$ $=n левая круглая скобка x плюс 20 минус 0,3n минус 0,01nx плюс 0,01x правая круглая скобка =$
$=n левая круглая скобка x левая круглая скобка 1,01 минус 0,01n правая круглая скобка плюс 20 минус 0,3n правая круглая скобка .$

Кроме того, из условия следует, что

$1000 минус 15n минус левая круглая скобка nx правая круглая скобка =600 равносильно n левая круглая скобка x плюс 15 правая круглая скобка =400 равносильно x= дробь: числитель: 400, знаменатель: n конец дроби минус 15.$

Последняя выплата, которая будет произведена с 1 мая по 1 августа (2018 + 2n)-го года составит $600 плюс 0,02 умножить на 600=612$ тыс. рублей. В итоге получаем:

$n левая круглая скобка 35,15 минус 0,15n правая круглая скобка плюс n левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 400, знаменатель: n конец дроби минус 15 правая круглая скобка левая круглая скобка 1,01 минус 0,01n правая круглая скобка плюс 20 минус 0,3n правая круглая скобка плюс 612=1346.$ $n левая круглая скобка 35,15 минус 0,15n правая круглая скобка плюс$
$плюс n левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 400, знаменатель: n конец дроби минус 15 правая круглая скобка левая круглая скобка 1,01 минус 0,01n правая круглая скобка плюс 20 минус 0,3n правая круглая скобка плюс 612=1346.$ $n левая круглая скобка 35,15 минус 0,15n правая круглая скобка плюс$
$плюс n левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 400, знаменатель: n конец дроби минус 15 правая круглая скобка левая круглая скобка 1,01 минус 0,01n правая круглая скобка плюс 20 минус 0,3n правая круглая скобка плюс$
$плюс 612=1346.$

Раскрывая скобки, получаем:

$36n минус 0,3n в квадрате плюс 404=734 равносильно n в квадрате минус 120n плюс 1100=0 равносильно совокупность выражений n=10,n=110. конец совокупности .$

По смыслу задачи $1000 минус 15n больше 0,$ значит, $n=10.$

Ответ: в 2038 году.

Примечание Решу ЕГЭ.

Мы исправили в авторской формулировке задачи несколько неточностей, которые делали условие задачи противоречивым. Ниже приводим оригинальную формулировку задачи.

1 февраля 2018 года планируется взять кредит на сумму 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

—  1 марта каждого года сумма долга увеличивается на 2% по сравнению с началом года;

—  с 1 мая по 1 августа необходимо выплатить часть долга;

—  1 марта каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей.

Год	2018	2019	2020	...	2018 + n	2019 + n	2020 + n	...	2018 + 2n	2019 + 2n
Долг (тыс. руб)	1000	985	970	...	1000 − 15n	1000 − 15n − x	1000 − 15n − 2x	...	600	0

Начиная с 2018 года долг уменьшался равномерно на 15 тысяч рублей, а начиная с (2018 + n)-⁠го по (2018 + 2n)-⁠й год долг уменьшался равномерно на x тысяч рублей. В каком году планируется совершить последний платеж, если общая сумма выплат равна 1 346 000 рублей?

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 294

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь