Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что

по­это­му, внося под знак корня, не­об­хо­ди­мо рас­смот­реть два слу­чая:

В слу­чае имеем:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет серия

В слу­чае имеем:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ют серии и

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что пря­мая A₁O₁ лежит в плос­ко­сти ACA₁C₁, при этом точки B₁ и O₂ не лежат в этой плос­ко­сти, то есть пря­мая B₁O₂ не лежит в плос­ко­сти ACC₁A₁ и не па­рал­лель­на ей (B₁ и O₂ лежат в раз­ных по­лу­про­стран­ствах от­но­си­тель­но этой плос­ко­сти). Сле­до­ва­тель­но, пря­мая B₁O₂ пе­ре­се­ка­ет плос­кость ACC₁A₁. По­ка­жем, что точка их пе­ре­се­че­ния не лежит на пря­мой A₁O₁, из этого будет сле­до­вать, что пря­мые A₁O₁ и B₁O₂  — скре­щи­ва­ю­щи­е­ся.

Дей­стви­тель­но, пря­мая B₁O₂ лежит в плос­ко­сти СB₁D₁, пе­ре­се­ка­ю­щей­ся с плос­ко­стью ACA₁C₁ по пря­мой CO₃, где О₃  — точка пе­ре­се­че­ния B₁D₁ с A₁C₁. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая B₁O₂ пе­ре­се­ка­ет плос­кость ACA₁C₁ в точке, ле­жа­щей на пря­мой CO₃. Пря­мая CO₃ не имеет общих точек с пря­мой А₁O₁, по­сколь­ку па­рал­лель­на ей. Таким об­ра­зом, пря­мая B₁O₂ пе­ре­се­ка­ет плос­кость, в ко­то­рой лежит пря­мая А₁O₁ в точке, не ле­жа­щей на А₁O₁. Тре­бу­е­мое до­ка­за­но.

б)  Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке A₁ так, что ось абс­цисс на­прав­ле­на вдоль A₁D₁, ось ор­ди­нат  — вдоль A₁B₁, ось ап­пли­кат  — вдоль A₁A (см. рис.). В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат: A₁(0; 0; 0), B₁(0; 1; 0), Пусть век­тор

с кон­ца­ми на пря­мых O₁A₁ и B₁O₂ пер­пен­ди­ку­ля­рен обеим этим пря­мым. Тогда длина MN равна рас­сто­я­нию между ними. За­пи­шем усло­вия пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти в виде и Имеем:

Итак,

Тогда

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Ука­жем идею ре­ше­ния пунк­та а) ме­то­дом ко­ор­ди­нат, при­ме­нен­ным при ре­ше­нии пунк­та б). При­мем ребро куба за 1 (или за а), вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, най­дем ко­ор­ди­на­ты точек А₁, В₁, О₁ и О₂, най­дем урав­не­ние плос­ко­сти А₁В₁О₁, под­ста­вим в это урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точки О₂ и убе­дим­ся, что эта точка не лежит в дан­ной плос­ко­сти.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ан­дрея Бе­ло­бо­ро­до­ва без ис­поль­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат.

Рас­смот­рим плос­кость СB₁D₁. Эта плос­кость про­хо­дит через пря­мую B₁O₂ и па­рал­лель­на пря­мой A₁O₁, по­сколь­ку пря­мая A₁O₁ па­рал­лель­на пря­мой CO₃, ле­жа­щей в этой плос­ко­сти. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми B₁O₂ и A₁O₁ равно рас­сто­я­нию от любой из точек пря­мой A₁O₁ до плос­ко­сти СB₁D₁.

Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке O₃O₁C вы­со­ту O₁M. За­ме­тим, что O₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на B₁D₁, по­сколь­ку ее про­ек­ция O₃С₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на B₁D₁. Таким об­ра­зом, O₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым плос­ко­сти СB₁D₁, сле­до­ва­тель­но, она пер­пен­ди­ку­ляр­на этой плос­ко­сти, и O₁M  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что При­ме­ним эту фор­му­лу к каж­до­му сла­га­е­мо­му левой части, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть h₁  — длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, про­ведённого из A₅ к A₁A₂, h₂  — длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, про­ведённого из A₃ к A₁A₂. Тогда

сле­до­ва­тель­но, зна­чит, пря­мая A₁A₂ па­рал­лель­на пря­мой A₅A₃.

б)  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) до­ка­жем, что пря­мая A₅A₄ па­рал­лель­на пря­мой A₁A₃, а пря­мая A₃A₄ па­рал­лель­на пря­мой A₅A₂. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния A₅A₂ и A₁A₃, че­ты­рех­уголь­ник A₄A₃KA₅  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му Пусть Тогда

сле­до­ва­тель­но, Тогда для тре­уголь­ни­ка A₁A₂A₃ по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть руб. Вы­пла­та за пер­вый год со­ста­вит тыс. руб­лей. За вто­рой год: тыс. руб­лей. За n-⁠й год: тыс. руб­лей. В итоге за пер­вые n лет вы­пла­ты со­ста­вят:

За сле­ду­ю­щие n лет вы­пла­ты со­ста­вят:

Кроме того, из усло­вия сле­ду­ет, что

По­след­няя вы­пла­та, ко­то­рая будет про­из­ве­де­на с 1 мая по 1 ав­гу­ста (2018 + 2n)-го года со­ста­вит тыс. руб­лей. В итоге по­лу­ча­ем:

Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем:

По смыс­лу за­да­чи зна­чит,

Ответ: в 2038 году.

При­ме­ча­ние Решу ЕГЭ.

Мы ис­пра­ви­ли в ав­тор­ской фор­му­ли­ров­ке за­да­чи не­сколь­ко не­точ­но­стей, ко­то­рые де­ла­ли усло­вие за­да­чи про­ти­во­ре­чи­вым. Ниже при­во­дим ори­ги­наль­ную фор­му­ли­ров­ку за­да­чи.

1 фев­ра­ля 2018 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1 марта каж­до­го года сумма долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с на­ча­лом года;

—  с 1 мая по 1 ав­гу­ста не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  1 марта каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей.

На­чи­ная с 2018 года долг умень­шал­ся рав­но­мер­но на 15 тысяч руб­лей, а на­чи­ная с (2018 + n)-⁠го по (2018 + 2n)-⁠й год долг умень­шал­ся рав­но­мер­но на x тысяч руб­лей. В каком году пла­ни­ру­ет­ся со­вер­шить по­след­ний пла­теж, если общая сумма вы­плат равна 1 346 000 руб­лей?

Ре­ше­ние. Под­ста­вим y из вто­ро­го урав­не­ния в пер­вое, по­лу­чим урав­не­ние

Си­сте­ма будет иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, если по­лу­чен­ное урав­не­ние будет иметь ровно один ко­рень. Найдём со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния па­ра­мет­ра.

Если стар­ший ко­эф­фи­ци­ент урав­не­ния (*) равен нулю, то его сте­пень не боль­ше 1, по­это­му оно может иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, не иметь ре­ше­ний или иметь бес­ко­неч­но много ре­ше­ний. Из урав­не­ния на­хо­дим или Эти зна­че­ния при­во­дят к урав­не­ни­ям и со­от­вет­ствен­но, име­ю­щим един­ствен­ное ре­ше­ние.

При про­чих а урав­не­ние (*) яв­ля­ет­ся квад­рат­ным и имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, тогда и толь­ко тогда, когда его дис­кри­ми­нант равен нулю:

от­ку­да

Ответ: 2, 3.

Ре­ше­ние. а)  При общее число оце­нок со­ста­вит что не де­лит­ся на

б)  Всего уче­ни­ков в клас­се по­это­му

долж­но де­лить­ся на Тогда 28 де­лит­ся на при­чем n  — не­от­ри­ца­тель­ное число. Един­ствен­ный де­ли­тель 28, не мень­ший 15  — само число 28. Тогда от­ку­да

в)  Общее число оце­нок равно по­это­му каж­дый по­лу­чил 12 оце­нок.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть каж­дый уче­ник по­лу­чил k оце­нок, тогда 15 маль­чи­ков по­лу­чи­ли 15k оце­нок, а n де­во­чек  — kn оце­нок. Общее ко­ли­че­ство оце­нок равно по­это­му где числа k и n  — на­ту­раль­ные. Вы­ра­зим k:

Пра­вая часть долж­на быть на­ту­раль­ным чис­лом, а зна­чит, дробь, сто­я­щая в ней, долж­на быть со­кра­ти­ма. Так как зна­ме­на­тель дроби не мень­ше 16, он может быть равен толь­ко 28. Тогда от­ку­да Тем самым, в клас­се учит­ся 13 де­во­чек, каж­дый из уча­щих­ся по­лу­чил 12 оце­нок.

Ответ: а) нет; б) 13; в) 12.