Ре­ше­ние. a)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Сде­ла­ем за­ме­ну и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)  Про­из­ве­дем отбор кор­ней при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.) Под­хо­дят корни

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Про­ведём от­ре­зок A₁B  — диа­го­наль грани AA₁B₁B. Пусть N  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда N  — се­ре­ди­на A₁B. В тре­уголь­ни­ке A₁BC от­ре­зок MN  — сред­няя линия (лежит в плос­ко­сти AB₁M), сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и A₁C па­рал­лель­ны. Тогда пря­мая A₁C па­рал­лель­на плос­ко­сти AMB₁.

б)  Про­ведём через точку C пря­мую, па­рал­лель­ную B₁M, а через точку A₁ пря­мую, па­рал­лель­ную AB₁. Так как а они пе­ре­се­кут­ся в одной точке на пря­мой BB₁. Назовём эту точку B₂ и за­ме­тим, что Точку пе­ре­се­че­ния пря­мой с реб­ром AB назовём A₂. За­ме­тим, что плос­кость A₂B₂C па­рал­лель­на плос­ко­сти AB₁M, и при этом плос­кость A₂B₂C со­дер­жит пря­мую A₁C. Рас­сто­я­ние от пря­мой A₁C до плос­ко­сти AB₁M равно рас­сто­я­нию между плос­ко­стя­ми A₂B₂C и AB₁M и равно раз­но­сти между дли­на­ми высот по­доб­ных пи­ра­мид BA₂B₂C и BAB₁M. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих пи­ра­мид Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те пи­ра­ми­ды BAB₁M. Вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды BAB₁M:

По­счи­та­ем объём дру­гим спо­со­бом. В тре­уголь­ни­ке AB₁M: от­ку­да

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что точки B, C₁, B₁, C лежат на одной окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. По­это­му

Пря­мые C₂B₂ и BC па­рал­лель­ны, зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, точки B₁, B₂, C₁, C₂ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  В тре­уголь­ни­ке AC₁C от­ре­зок C₁B₂  — ме­ди­а­на, про­ведённая к ги­по­те­ну­зе. Зна­чит,

тогда от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке AB₁B B₁C₂  — ме­ди­а­на, про­ведённая к ги­по­те­ну­зе. Зна­чит,

тогда

На­ко­нец,

Ответ: 60°.

Ре­ше­ние. Пусть долг 19‐го числа 15‐го ме­ся­ца будет равен S тыс. руб­лей. Тогда, сумма кре­ди­та боль­ше S на  тыс. руб­лей. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу:

	Долг на 1-е число, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг на 19-е число, тыс. руб.
1-й месяц
2-й месяц
...	...	...	...
14-й месяц
15-й месяц			S
16-й месяц			0

Сумма вы­плат (в тыс. руб.) равна

От­ку­да,

Ответ: 40 тыс. руб.

Ре­ше­ние. Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся се­мей­ство па­ра­бол (при вы­рож­да­ю­щих­ся в пря­мую) с вер­ши­ной в точке Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся левая по­лу­окруж­ность окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом

Дан­ная си­сте­ма либо имеет одно ре­ше­ние (когда по­лу­окруж­ность имеет с гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния общую точку), либо не имеет ре­ше­ний. Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых па­ра­бо­ла про­хо­дит через гра­нич­ные точки по­лу­окруж­но­сти:

точка

точка

Зна­чит,

  — при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний;

  — при си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние;

  — при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если наи­мень­шее число равно 5, то сумма семи наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 7.

б)  Пусть сумма шести наи­мень­ших чисел равна А, седь­мое по ве­ли­чи­не число равно Q, а сумма шести наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех три­на­дца­ти чисел равно 12. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку перед Q долж­но быть еще шесть раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

в)  Имеем: По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние Q.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны при­чем Тогда от­ку­да

По­ка­жем, что число Q может рав­нять­ся 10. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 37, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и Таким об­ра­зом,

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)