Ре­ше­ние. a)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­ча­ем число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим угол между пря­мы­ми AO и по усло­вию, он равен 60°. При этом как цен­траль­ный в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке. Зна­чит, угол между AO и равен 180° или, иными сло­ва­ми, Оче­вид­но, что сле­до­ва­тель­но, Кроме того, таким об­ра­зом,   — па­рал­ле­ло­грамм. Пусть те­перь, B'  — про­ек­ция на ниж­нее ос­но­ва­ние. Так как от­ре­зок   — диа­метр, сле­до­ва­тель­но, угол ABB'  — пря­мой. Тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, а   — пря­мо­уголь­ник.

б)  Тре­бу­е­мый мно­го­гран­ник можно раз­бить на две рав­ных че­ты­рех­уголь­ных пи­ра­ми­ды, общим ос­но­ва­ни­ем ко­то­рых яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник а вер­ши­на­ми  — точки и Одна из сто­рон ос­но­ва­ния  — сто­ро­на тре­уголь­ни­ка Вто­рую сто­ро­ну най­дем из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка От­ре­зок яв­ля­ет­ся ка­те­том пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­том и от­ку­да Таким об­ра­зом, а Оста­лось найти вы­со­ты пи­ра­мид.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ци­лин­дра про­хо­дя­щее через точки C и Пусть MN  — линия его пе­ре­се­че­ния с пря­мо­уголь­ни­ком где M  — се­ре­ди­на AB, а N  — Опу­стим на MN из пер­пен­ди­ку­ляр до­ка­жем, что это вы­со­та пи­ра­ми­ды, и най­дем ее.

За­ме­тим, что и сле­до­ва­тель­но, От­ре­зок AH лежит в плос­ко­сти зна­чит, Кроме того, (по по­стро­е­нию), тогда и яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды.

Точка яв­ля­ет­ся цен­тром верх­не­го ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но, а Оче­вид­но, что сле­до­ва­тель­но, а тогда то есть, по тео­ре­ме тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, имеем от­ку­да

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда имеем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Так как углы BDC и BCD равны. Углы EBC и DAC равны как впи­сан­ные углы. Угол EAD равен углу ABD как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Пусть тогда:

Зна­чит,

б)  Имеем:

Тогда:

Далее, имеем:

Ответ: б) 12.

При­ме­ча­ние.

В ре­ше­нии ис­поль­зо­ва­лись фор­му­лы двой­ных и трой­ных углов:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S млн руб. За­ме­тим, что при по­га­ше­нии кре­ди­та рав­ны­ми вы­пла­та­ми часть пла­те­жа, ко­то­рая идёт на по­га­ше­ние суммы на­чис­лен­ных про­цен­тов, умень­ша­ет­ся с каж­дым пла­те­жом, а часть пла­те­жа, ко­то­рая идёт на по­га­ше­ние ос­нов­но­го долга, уве­ли­чи­ва­ет­ся. Зна­чит, после пер­во­го пла­те­жа ос­нов­ной долг умень­шил­ся на 2 млн руб. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу.

	Долг до на­чис­ле­ния про­цен­тов, млн руб.	Долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, млн руб.	Вы­пла­та, млн руб.
Пер­вый год	S
Вто­рой год
Тре­тий год
Четвёртый год

По­лу­ча­ем, что сумма кре­ди­та равна млн руб. По­это­му наи­мень­шая из сумм, на­прав­лен­ных на по­га­ше­ние про­цен­тов за поль­зо­ва­ние кре­ди­том, равна

Ответ: 242 000 руб.

Ре­ше­ние. Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­шин квад­ра­та ABCD. От­ре­зок AC  — диа­го­наль квад­ра­та, точка с ко­ор­ди­на­та­ми (1; 4)  — её се­ре­ди­на. Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты двух дру­гих вер­шин квад­ра­та (0; 1) и (2; 7). Без огра­ни­че­ния общ­но­сти обо­зна­чим первую из них B, а вто­рую D.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Гра­фи­ком со­во­куп­но­сти яв­ля­ют­ся вер­ти­каль­ная пря­мая (см. рис., вы­де­ле­но крас­ным) или пучок пря­мых, про­хо­дя­щих через на­ча­ло ко­ор­ди­нат (вы­де­ле­но зелёным).

За­ме­тим, что сто­ро­на квад­ра­та BC лежит на пря­мой зна­чит, гра­фик ис­ход­но­го урав­не­ния не может иметь общих точек с от­рез­ком BC. Не­за­ви­си­мо от па­ра­мет­ра a пря­мая имеет со сто­ро­на­ми квад­ра­та две общие точки: D (2; 7) и E (2; 2).

Сле­до­ва­тель­но, для того, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие за­да­чи, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы пря­мая имела ровно одну общую точку со сто­ро­на­ми квад­ра­та AB, AD и CD, от­лич­ную от точек B, C, D и E. Это вы­пол­ня­ет­ся при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, может. На­при­мер, числа 1, 1, ..., 1 (де­сять еди­ниц) об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию и дают в сумме 10.

б)  Наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, мень­шее 1000,  — 999. Такую сумму имеет ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, все 999 чле­нов ко­то­рой равны 1. Оче­вид­но, что боль­ше­му ко­ли­че­ству чле­нов про­грес­сии будет со­от­вет­ство­вать сумма, боль­шая 999.

в)  За­ме­тим, что 129  =  1 · 3 · 43. По­это­му про­грес­сии, со­сто­я­щие из 129 еди­ниц, или 43 троек, или трех чисел 43 под­хо­дят, а дру­гие по­сто­ян­ные ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии  — нет. Рас­смот­рим слу­чай, когда про­грес­сия не­по­сто­ян­ная. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти будем счи­тать, что она воз­рас­та­ю­щая. Пусть a  — ее пер­вый член, а d  — раз­ность. Тогда для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким об­ра­зом, число n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 258  =  2 · 3 · 43. Если то сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что или Про­грес­сии из 3 и 6 чле­нов с сум­мой 129 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 999; в) 3, 6, 43, 129.

При­ме­ча­ние.

Это же за­да­ние для раз­лич­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, было пред­ло­же­но в 2013 году на до­сроч­ном ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке (см. за­да­ние 502119). При­во­дим ре­ше­ние ниже.

Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что числа со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Пусть a  — пер­вый член этой про­грес­сии, d её раз­ность. Тогда сумма её чле­нов

а)  Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, и их сумма равна 10.

б)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии верно не­ра­вен­ство

Зна­чит, от­ку­да на­хо­дим Сумма ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние n равно 44.

в)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким об­ра­зом, число n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 258. Если то сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что или Про­грес­сии из 3 и 6 чле­нов с сум­мой 129 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а)  да; б)  44; в)  3, 6.