Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Обо­зна­чим Тогда по­лу­чим:

Пе­рейдём к ос­нов­ной пе­ре­мен­ной:

б)  С по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга от­бе­рем корни. На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть T  — точка на такая, что N  — се­ре­ди­на от­рез­ка BC. Тогда KNLT  — се­че­ние. Сразу от­ме­тим, что пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой KN по тео­ре­ме о трех пер­пе­ни­ку­ля­рах, по­сколь­ку про­ек­ция BM на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка BAC, а пря­мая KN па­рал­лель­на пря­мой AC.

Рас­смот­рим те­перь се­че­ние приз­мы плос­ко­стью Это пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и От­ме­тим на его сто­ро­нах точки и пе­ре­се­че­ния с LT и KN со­от­вет­ствен­но (они делят его сто­ро­ны в от­но­ше­ни­ях и со­от­вет­ствен­но). До­ка­жем, что пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой Обо­зна­чим за O их точку пе­ре­се­че­ния и за про­ек­цию на (она же се­ре­ди­на ). Далее:

от­ку­да Далее:

по­это­му Зна­чит,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, BM пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым в плос­ко­сти KNLT, по­это­му пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KNLT.

б)  Имеем:

Это по пунк­ту а) вы­со­та пи­ра­ми­ды. Ее ос­но­ва­ние  — тра­пе­ция, вы­со­та ко­то­рой  — (по­сколь­ку про­ек­ция этого от­рез­ка на плос­кость верх­не­го ос­но­ва­ния  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка и пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой LT, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой то и сам от­ре­зок по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пер­пен­ди­ку­ля­рен ос­но­ва­нию тра­пе­ции). Зна­чит,

Окон­ча­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу от­ме­тим, что

по­это­му не­ра­вен­ство опре­де­ле­но толь­ко при Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем его:

Учи­ты­вая огра­ни­че­ние выше, окон­ча­тель­но имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OT на BC. Обо­зна­чим Тогда из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABH и OBT по­лу­ча­ем:

По пунк­ту а) по­лу­ча­ем, что от­ку­да и

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Если на стро­и­тель­ство пер­во­го дома от­пра­вить x ра­бо­чих, а на стро­и­тель­ство вто­ро­го то сум­мар­ные за­тра­ты со­ста­вят

Это квад­рат­ный трех­член, при­ни­ма­ю­щий наи­мень­шее зна­че­ние при по­это­му наи­мень­шее зна­че­ние среди целых точек будет при или Для по­лу­ча­ем

де­неж­ных еди­ниц. Для по­лу­ча­ем

де­неж­ные еди­ни­цы  — это зна­че­ние наи­мень­шее.

Ответ: 15 на пер­вый дом и 11 на вто­рой, 1252 де­неж­ных еди­ни­цы.

При­ме­ча­ние.

Вме­сто того, чтобы вы­чис­лять зна­че­ния квад­ра­тич­ной функ­ции в точ­ках 14 и 15, можно было бы за­ме­тить, что: а) точка 15 ближе к чем точка 14, б) квад­рат­ный трех­член воз­рас­та­ет на луче в) зна­че­ния квад­рат­но­го трех­чле­на в точ­ках, сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но точки равны. Из этих трех фак­тов сле­ду­ет, что зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на в точке 15 мень­ше, чем его зна­че­ние в точке 14.

Ре­ше­ние. Если не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:

По­это­му при можно взять и оно по­дой­дет. Брать бОль­шие x нель­зя по усло­вию  — нас ин­те­ре­су­ет лишь от­ре­зок Если не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:

Оче­вид­но на от­рез­ке самое ма­лень­кое зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при самом боль­шом воз­мож­ном x, то есть при по­сколь­ку   — при про­чих a у нас и так есть под­хо­дя­щее x в силу пер­во­го слу­чая.

Итак, нужно чтобы то есть И дей­стви­тель­но, при вы­пол­не­но не­ра­вен­ство по­это­му взять такое x можно.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Под­хо­дит, на­при­мер, 5523.

б)  Если про­из­ве­де­ние цифр крат­но то среди цифр обя­за­ны быть 5, 5, 7 (цифры 0, ра­зу­ме­ет­ся, быть не может). Зна­чит, это цифры 5, 5, 7, x, при­чем Оче­вид­но это не­воз­мож­но.

в)  По тем же при­чи­нам среди цифр обя­за­ны быть две пя­тер­ки. Обо­зна­чим осталь­ные цифры за x и y. Тогда:

По­это­му и могут быть равны толь­ко 6 и 4 (по­сколь­ку а число 24 не рас­кла­ды­ва­ет­ся по-дру­го­му на два мно­жи­те­ля, мень­ших 7). Зна­чит, осталь­ные цифры это 8 и 6. Под­хо­дят все пе­ре­ста­нов­ки этих цифр.

Ответ: а) 5523; б) нет; в) 5568, 5586, 5658, 5856, 5685, 5865, 6558, 8556, 6585, 8565, 6855, 8655.