ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 527514 Добавить в вариант

а)  Чему равно максимальное значение разности трёхзначного числа и суммы кубов его цифр?

б)  Для какого числа оно достигается?

в)  Чему равно минимальное значение этой разности?

Спрятать решение

Решение.

Пусть цифры числа это a, b, c. Требуется исследовать выражение

$100a плюс 10b плюс c минус a в кубе минус b в кубе минус c в кубе = левая круглая скобка 100a минус a в кубе правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 10b минус b в кубе правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус c в кубе правая круглая скобка .$

Ясно, что подбирать наибольшее и наименьшее значение для этих трех выражений можно независимо друг от друга.

1.  Имеем: $левая круглая скобка 100a минус a в кубе правая круглая скобка '=100 минус 3a в квадрате ,$ что положительно при $a принадлежит левая квадратная скобка 1;5 правая квадратная скобка$ и отрицательно при $a принадлежит левая квадратная скобка 6;9 правая квадратная скобка ,$ откуда наибольшее значение может быть при $a=5$ или $a=6,$ а наименьшее при $a=1$ или $a=9.$ При этом

$100 умножить на 5 минус 5 в кубе =375 меньше 384=100 умножить на 6 минус 6 в кубе ,$

$100 умножить на 1 минус 1 в кубе =99 меньше 161=100 умножить на 9 минус 9 в кубе .$

2.  Имеем: $левая круглая скобка 10b минус b в кубе правая круглая скобка '=10 минус 3b в квадрате ,$ что положительно при $b принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка$ и отрицательно при $b принадлежит левая квадратная скобка 2;9 правая квадратная скобка ,$ откуда наибольшее значение может быть при $b=1$ или $b=2,$ а наименьшее при $b=0$ или $b=9.$ При этом

$10 умножить на 1 минус 1 в кубе =9 меньше 12=10 умножить на 2 минус 2 в кубе ,$

$10 умножить на 0 минус 0 в кубе =0 больше минус 639=10 умножить на 9 минус 9 в кубе .$

3.  Имеем: $левая круглая скобка c минус c в кубе правая круглая скобка '=1 минус 3c в квадрате ,$ что положительно при $c=0$ и отрицательно при $c принадлежит левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка ,$ откуда наибольшее значение может быть при $c=0$ или $c=1,$ а наименьшее при $c=0$ или $c=9.$ При этом

$0 минус 0 в кубе =0=1 минус 1 в кубе ,$

$0 минус 0 в кубе =0 больше минус 720=9 минус 9 в кубе .$

а)  Наибольшее значение равно $384 плюс 12 плюс 0=396.$

б)  Оно достигается при 620 и 621.

в)  Наименьшее значение равно $99 минус 639 минус 720= минус 1260,$ достигается для числа 199.

Ответ: а) 396; б) 620 и 621; в) $минус 1260.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 266

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь