PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527508 
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Используем формулы приведения и двойного угла:
Поэтому либо 
либо 
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат: 
Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше 
и занимает поэтому больше целого оборота на круге.
Ответ: а)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
527508
а) б)
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
На ребре BC взята точка F так, что длина отрезка BF равна 
Через центр куба и точки E и F проведена плоскость α.
Тогда точки будут иметь координаты 
Подставляя в него координаты точек, получим:
тогда из первого уравнения 
Остальные уравнения тогда дают 
Решая эту систему находим 
тогда из второго 
и из последнего 
Итак, уравнение плоскости имеет вид 
или, домножая на 3, 
:
до данной плоскости по формуле:
б) 
получаем два неравенства:
Перейдём к основной переменной:
Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Известно, что 
Тогда 
Треугольник AOL — равнобедренный, поэтому 
По теореме синусов для треугольника AOL получаем 
откуда 
Площадь AOL равна 
Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?
а во втором — 
После испарения части воды доли будут равны 
и 
Поскольку масса соли осталась неизменной, масса растворов уменьшилась в p и q раз соответственно.
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел 
получаем
то есть 
Если взять 
и 
то все условия будут выполнены (в том числе то, что 
то есть вода и правда испарялась).
кг
кг.
— неравенство верно всегда. Если 
то получаем линейную непостоянную функцию 
которая не может быть всюду положительна.
то получается квадратное неравенство. Для того, чтобы оно было всегда выполнено при 
, необходимо и достаточно, чтобы:
Корни уравнения 
это 
Сравним числа 
и 
:
и 
Первое неравенство поэтому дает 
корни у уравнения есть, но они неположительны. Тогда нужно потребовать, чтобы: 
Второе оставляет от первого промежутка лишь 
которое подходит во все неравенства. Первое превращается для 
в 
что противоречит условию про положительность старшего коэффициента. Для 
что положительно при 
и отрицательно при 
откуда наибольшее значение может быть при 
или 
а наименьшее при 
или 
При этом 
что положительно при 
и отрицательно при 
откуда наибольшее значение может быть при 
или 
а наименьшее при 
или 
При этом 
что положительно при 
и отрицательно при 
откуда наибольшее значение может быть при 
а наименьшее при 
При этом 
достигается для числа 199.