Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 527507

Пусть n — трёхзначное число, а f левая круглая скобка n правая круглая скобка  — сумма квадратов его цифр.

а) Существует ли такое n, что  дробь: числитель: f левая круглая скобка n правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби больше 1?

б) Существует ли такое n, что  дробь: числитель: f левая круглая скобка n правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ?

в) Найдите наибольшее возможное значение отношения  дробь: числитель: f левая круглая скобка n правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть цифры числа равны a, b, c. Требуется, чтобы

a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате больше 100a плюс 10b плюс c равносильно a левая круглая скобка 100 минус a правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 10 минус b правая круглая скобка плюс c минус c в квадрате меньше 0.

Но

a левая круглая скобка 100 минус a правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 10 минус b правая круглая скобка плюс c минус c в квадрате больше или равно 91a минус c в квадрате больше или равно 91 минус 81 больше 0,

противоречие.

б) Да, например для n=199.

в) Из пункта a уже известно, что  дробь: числитель: a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате , знаменатель: 100a плюс 10b плюс c конец дроби  — правильная дробь. Если увеличивать ее числитель и знаменатель на одну и ту же величину — она будет расти. Если числитель увеличивать больше, чем знаменатель — она тем более будет расти. Увеличивая c на 1 мы увеличиваем c в квадрате не менее чем на 1. Поэтому выгодно увеличивать c до тех пор, пока это возможно. Итак, c=9.

Для числа 199 имеем:

f левая круглая скобка 199 правая круглая скобка = дробь: числитель: 163, знаменатель: 199 конец дроби больше дробь: числитель: 162, знаменатель: 198 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 11 конец дроби .

Поэтому меньшие результаты рассматривать бессмысленно.

Если a больше или равно 3, то

f левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 3 умножить на 81, знаменатель: 300 конец дроби = дробь: числитель: 81, знаменатель: 100 конец дроби меньше дробь: числитель: 81, знаменатель: 99 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 11 конец дроби .

Значит, a=1 или a=2.

Если a=2, то

f левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 плюс b в квадрате плюс 81, знаменатель: 209 плюс 10b конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 4 плюс 2 умножить на 81, знаменатель: 209 конец дроби = дробь: числитель: 166, знаменатель: 209 конец дроби меньше дробь: числитель: 171, знаменатель: 209 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 11 конец дроби .

Наконец, при a=1 имеем

f левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 плюс b в квадрате плюс 81, знаменатель: 109 плюс 10b конец дроби = дробь: числитель: 82 плюс b в квадрате , знаменатель: 109 плюс 10b конец дроби .

Возьмем производную от этого выражения:

 дробь: числитель: 2b левая круглая скобка 109 плюс 10b правая круглая скобка минус 10 левая круглая скобка 82 плюс b в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 109 плюс 10b правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 10b в квадрате плюс 218b минус 820, знаменатель: левая круглая скобка 109 плюс 10b правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

Очевидно числитель имеет корень между b=3 и b=4 (а второй его корень отрицателен), поэтому производная сначала отрицательна, а потом положительна. Значит, функция сначала убывает, а затем возрастает. Поэтому наибольшее значение либо при b=9, либо при b=0. Сравнивая  дробь: числитель: 82, знаменатель: 109 конец дроби и  дробь: числитель: 163, знаменатель: 199 конец дроби , выясняем, что второе больше.

 

Ответ: а) нет; б) да; в)  дробь: числитель: 163, знаменатель: 199 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства