Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 527505

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 15 лет. Условия его возврата таковы:

— пока долг больше половины исходной суммы, каждый январь он возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

— если долг меньше половины исходной суммы, то каждый январь он возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого последующего года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Какую сумму нужно вернуть банку?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим S=12000000, p=1,12, q=1,04. Размер долга после выплаты должен будет составлять  дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби S,  дробь: числитель: 13, знаменатель: 15 конец дроби S, ...,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби S, 0. До долга  дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби S размер долга будет больше половины исходной суммы, поэтому банк будет умножать размер долга на p. Значит, выплаты будут

pS минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби S, p умножить на дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби S минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 15 конец дроби S, \ldots, p умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби S минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби S.

После этого размер долга будет меньше половины суммы и умножать банк будет на q. Значит, выплаты будут

q умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби S минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 15 конец дроби S, \ldots, q умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби S минус 0.

И первая и вторая последовательность выплат — арифметические прогрессии. Посчитаем тогда общую сумму выплат:

 дробь: числитель: pS минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби S плюс p умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби S минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 плюс дробь: числитель: q умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби S минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 15 конец дроби S плюс q умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7=

= левая круглая скобка дробь: числитель: 23p, знаменатель: 15 конец дроби минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 15 конец дроби правая круглая скобка 4S плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 8q, знаменатель: 15 конец дроби минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 15 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби S=

=S левая круглая скобка дробь: числитель: 92p минус 84 плюс 28q минус 21, знаменатель: 15 конец дроби правая круглая скобка =21728000.

 

Ответ: 21728000 рублей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Разные задачи с прикладным содержанием