Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 527389

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E.

а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность

б) Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме об угле между касательной и хордой \angle ECB=\angle CAB, \angle EDB=\angle DAB. Поэтому:

\angle CED плюс \angle CAD=\angle CED плюс \angle ECB плюс \angle EDB=180 градусов.

Следовательно, четырёхугольник ACED вписан в окружность.

б) Поскольку четырёхугольник ACED вписан в окружность, углы AED и ACD равны, так как опираются на одну дугу. Аналогично, углы ECD и EAD равны. Значит, треугольники ACB и AED подобны по двум углам. Следовательно,  дробь: числитель: AC, знаменатель: AE конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: AD конец дроби ,

AE= дробь: числитель: AC умножить на AD, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 15 умножить на 16, знаменатель: 10 конец дроби =24.

Ответ: 24.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 279.