Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527391

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

a левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка 4 минус синус x правая круглая скобка в степени 4 правая круглая скобка больше 3 минус косинус в квадрате x

выполнено при любом значении x.

Спрятать решение

Решение.

Выражение 1 плюс левая круглая скобка 4 минус синус x правая круглая скобка в степени 4 положительно, при всех значениях x. Поделим на это выражение обе части неравенства и выразим  косинус x через  синус x.

a левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка 4 минус синус x правая круглая скобка в степени 4 правая круглая скобка больше 3 минус косинус в квадрате x равносильно a больше дробь: числитель: 3 минус косинус в квадрате x, знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка 4 минус синус x правая круглая скобка в степени 4 конец дроби равносильно a больше дробь: числитель: 2 плюс синус в квадрате x, знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка 4 минус синус x правая круглая скобка в степени 4 конец дроби .

 

Введём функцию f левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 плюс t в квадрате , знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка в степени 4 конец дроби , где  t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка . Чтобы исходное неравенство выполнялось при любом значении x, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство a больше \underset левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка \mathop\max f левая круглая скобка t правая круглая скобка , где \underset левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка \mathop\max f левая круглая скобка t правая круглая скобка  — наибольшее значение функции f левая круглая скобка t правая круглая скобка на отрезке  левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка . Найдём это наибольшее значение.

Функция f левая круглая скобка t правая круглая скобка представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой положительны. Значение такой дроби тем больше, чем больше числитель и чем меньше знаменатель. Рассмотрим, какие значения могут принимать числитель и знаменатель.

Числитель:
 минус 1 меньше или равно t\leqslant1,
0 меньше или равно t в квадрате \leqslant1,
2 меньше или равно 2 плюс t в квадрате \leqslant3.

Знаменатель:
 минус 1 меньше или равно t\leqslant1,
3\leqslant4 минус t\leqslant5,
81\leqslant левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка в степени 4 \leqslant625,
82\leqslant1 плюс левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка в степени 4 \leqslant626.

 

Заметим, что при t=1 значение функции f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 82 конец дроби , то есть наибольшее значение числителя и наименьшее значение знаменателя достигается одновременно. Это означает, что

\underset левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка \mathop\max f левая круглая скобка t правая круглая скобка = f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 82 конец дроби .

Значит, при a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 82 конец дроби исходное неравенство выполняется при любом значении x.

 

Ответ: a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 82 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 279.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром