Вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но, при всех зна­че­ни­ях По­де­лим на это вы­ра­же­ние обе части не­ра­вен­ства и вы­ра­зим через

Введём функ­цию где Чтобы ис­ход­ное не­ра­вен­ство вы­пол­ня­лось при любом зна­че­нии x, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство где   — наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке Найдём это наи­боль­шее зна­че­ние.

Функ­ция пред­став­ля­ет собой дробь, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ко­то­рой по­ло­жи­тель­ны. Зна­че­ние такой дроби тем боль­ше, чем боль­ше чис­ли­тель и чем мень­ше зна­ме­на­тель. Рас­смот­рим, какие зна­че­ния могут при­ни­мать чис­ли­тель и зна­ме­на­тель.

Чис­ли­тель:

Зна­ме­на­тель:

За­ме­тим, что при зна­че­ние функ­ции то есть наи­боль­шее зна­че­ние чис­ли­те­ля и наи­мень­шее зна­че­ние зна­ме­на­те­ля до­сти­га­ет­ся од­но­вре­мен­но. Это озна­ча­ет, что

Зна­чит, при ис­ход­ное не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любом зна­че­нии x.

Ответ: