РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 25018415

А. Ларин. Тренировочный вариант № 279.

а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = минус 1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 3. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AK  =  B₁L  =  2. Точка M  — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а)  Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б)  Найдите объём пирамиды, вершина которой  — точка M, а основание  — сечение данной призмы плоскостью γ.

Решение. а)  Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть $K_1=BC\cap гамма ,$ $L_1=A_1B_1\cap гамма .$ Прямые $KK_1,$ $LL_1$ и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция $KK_1LL_1.$

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану $B_1M$ перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником $B_1MM_1B,$ где $M_1$   — середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S  — середина $LL_1,$ а T  — середина $KK_1.$ Точка O  — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что $BM=BM_1=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники $BLL_1,$ $BKK_1$ и ABC подобны, $B_1S=TM_1= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $SM=BR=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Пусть $T_1$   — проекция T на $B_1M,$ а $S_1$   — проекция S на $BM_1,$ отсюда очевидно, что O  — середина BM и середина ST. Далее:

$BO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: BM_1 в квадрате плюс MM_1 в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 27 плюс 9 конец аргумента =3,$

$OT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: S_1T в квадрате плюс SS_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3 плюс 9 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$BO в квадрате плюс OT в квадрате =3 плюс 9=12= левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =BR.$

То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой $A_1C_1,$ следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.

б)  Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая $MO=3$   — высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция $KK_1LL_1$ с высотой $ST=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и основанием $KK_1=4$ и $LL_1=2,$ отсюда:

$S_KK_1LL_1= дробь: числитель: 4 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 3=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)	2
Выполнен только один из пунктов   — а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 9 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка x в степени 6 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E.

а)  Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность

б)  Найдите AE, если AB  =  10, AC  =  16, AD  =  15.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:

  — каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  — в июле 2020, 2022, 2024, 2026 годах долг должен быть на 100 000 рублей меньше долга на июль предыдущего года;

  — в остальные годы необходимо чтобы долг уменьшался на суммы, отличающиеся друг от друга на 50 000 рублей (в 2021 самое крупное уменьшение, в 2023  — на 50 000 рублей меньше и т. д.)

  — в июле 2027 года сумма долга должна равняться нулю.

Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

$a левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка 4 минус синус x правая круглая скобка в степени 4 правая круглая скобка больше 3 минус косинус в квадрате x$

выполнено при любом значении x.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Имеется несколько камней, массы которых  — различные натуральные числа.

а)  Можно ли разложить 10 камней с массами 1, 2, 3, ..., 10 по шести кучкам так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 10?

б)  Можно ли разложить камни массами 370, 372, 374, ..., 468 на семь кучек так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000?

в)  Дополнительно известно, что общая сумма масс камней равна 4000, а масса каждой кучки, как и каждого камня, не превосходит 100. Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни?

Решение. а)  Да. Например,

1 и 9

2 и 8

3 и 7

4 и 6

б)  Всего имеется 50 камней. При любом распределении 50 камней по семи кучкам, всегда найдётся такая кучка, в которой окажутся минимум 8 камней. Минимальная масса восьми камней равна

$370 плюс 372 плюс 374 плюс ... плюс 384= дробь: числитель: 370 плюс 384, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8=3016,$

что противоречит условию. Значит, 50 таких камней нельзя разложить на семь кучек, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000.

в)  Покажем, что любой набор камней, удовлетворяющий условиям задачи, можно разложить не более чем на 51 кучку. Разложим сто различных камней следующим образом: 50, 49 и 51, 48 и 52, ..., 1 и 99, 100. Получаем 51 кучку. Общая масса всех камней при этом равна $дробь: числитель: 1 плюс 100, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100 = 5050.$ Теперь, убирая любые камни, суммарная масса которых равна 1050, оставляем не более 51 кучки.

Заметим, что $дробь: числитель: 50 плюс 100, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 51 = 3825.$ Таким образом, сумма чисел 50, 51, 52, ..., 100 не превосходит 4000. При этом никакие два из соответствующих камней не могут оказаться в одной кучке, в противном случае, масса этой кучки будет превосходить 100. Значит, чтобы гарантированно разложить любой набор камней, количество кучек не может быть меньше 51.

Набор камней с массами 31, 47, 48, 49, ..., 99, 100 в соответствии с условиями задачи может быть разложен на 51 кучку следующим образом : 31 и 50, 49 и 51, 48 и 52, 47 и 53, 54, 55, ..., 99, 100.

Ответ: а) да, б) нет, в) 51.

Год	Долг в июле, тыс. руб.
2019	1 000
2020	1000 − 100 = 900
2021	$900 минус x$
2022	$левая круглая скобка 900 минус x правая круглая скобка минус 100=800 минус x$
2023	$левая круглая скобка 800 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка = 850 минус 2x$
2024	$левая круглая скобка 850 минус 2x правая круглая скобка минус 100=750 минус 2x$
2025	$левая круглая скобка 750 минус 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 100 правая круглая скобка =850 минус 3x$
2026	$левая круглая скобка 850 минус 3x правая круглая скобка минус 100=750 минус 3x$
2027	$левая круглая скобка 750 минус 3x правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 150 правая круглая скобка =900 минус 4x$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527386	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
2	527387	$6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
3	527388	$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$
4	527389	24.
5	527390	1 205 000 руб.
6	527391	$a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 82 конец дроби .$
7	527392	а) да, б) нет, в) 51.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

А. Ларин. Тренировочный вариант № 279.

Ключ