Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 527316

а) Решите уравнение  корень из 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 плюс корень из 2 синус x=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус 7 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Перепишем уравнение в виде  корень из 2 косинус в квадрате x минус корень из 2= минус корень из 2 синус x. Отметим сразу, что  синус x меньше или равно 0. Возводя в квадрат, получим:

2 косинус в квадрате x минус корень из 2=2 синус в квадрате x равносильно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из 2 равносильно

 равносильно косинус 2x= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k.

Получаем четыре точки на тригонометрическом круге:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k,  дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k,  дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k,  дробь: числитель: минус 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k. Условию  синус x меньше или равно 0 удовлетворяют второе и третье семейство решений.

б) Заметим, что

 дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 10 Пи меньше минус 7 Пи меньше дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 8 Пи меньше минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 Пи

и

 минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 8 Пи меньше минус 7 Пи меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 Пи меньше минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 4 Пи ,

поэтому на указанном промежутке лежат x= дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 8 Пи = минус дробь: числитель: 55, знаменатель: 8 конец дроби Пи и x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 Пи = минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 8 конец дроби Пи .

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  минус дробь: числитель: 55, знаменатель: 8 конец дроби Пи ,  минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 8 конец дроби Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252.
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла