Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C3 № 527318

Решите неравенство: 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка в квадрате .

Спрятать решение

Решение.

Для того, чтобы неравенство было определено, должны выполняться условия x в квадрате минус 2x минус 3 больше 0, x в квадрате минус 2x минус 3 не равно 1, x в квадрате минус 2x минус 2 не равно 0,  дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0. Первое условие дает  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше 0, то есть x больше 3 или x меньше минус 1. Второе условие дает  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате не равно 5, x не равно 1\pm корень из 5. Третье выполнено автоматически, поскольку

x в квадрате минус 2x минус 2=x в квадрате минус 2x минус 3 плюс 1 больше 0 плюс 1=1.

Последнее, наконец, дает x больше минус 1 или x меньше минус 4. Поэтому все вместе они задают такую область определения неравенства —  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;1 плюс корень из 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1 плюс корень из 5; бесконечность правая круглая скобка . При таких x преобразуем неравенство:

2 плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка |x в квадрате минус 2x минус 2| равносильно

 равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка равносильно

 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка равносильно

 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка равносильно

 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 12 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 12 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше или равно 0.

Рационализируем:

 дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 12 минус левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 2x минус 3 минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3x минус 10, знаменатель: x в квадрате минус 2x минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка 1 минус корень из 5;1 плюс корень из 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .

Учитывая ОДЗ, получаем окончательно x принадлежит левая круглая скобка 3;1 плюс корень из 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ x принадлежит левая круглая скобка 3;1 плюс корень из 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252.